Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
а dt = 2 dl dt. (65)
Всю эту большую сумму интегралов я обозначил через а. А следовательно, 1 — а dt дает вероятность того, что столкновения вообще не произойдет.
Вероятность столкновения есть величина того же порядка, что и dt. Это означает, что столкновение действительно является редким событием. Стохастические процессы, в которых мы имеем ситуацию такого рода, а именно, в которых какое-нибудь со-
64
бытие происходит с вероятностью, пропорциональной dt, носят название процессов Пуассона. Одним из простейших процессов такого рода является процесс радиоактивного распада, где вероятность испускания частицы равняется а dt, а вероятность того, что испускания не произойдет, равняется 1 — а dt.
Запишем теперь наши переходы несколько подробнее, тогда мы увидим полную аналогию с предыдущей моделью. Мы можем сказать, что имеется следующая ситуация: за промежуток времени dt или R переходит в R (сам в себя, т. е. перехода нет) с вероятностью 1 — а dt, или же R переходит в какое-либо другое состояние. Что же произойдет во время такого перехода? Если столкновению подвергаются і-я и /-я частицы, то переход символически запишется так:
- R'. (66)
Выражения, стоящие на і-м и /-м местах, означают просто соответствующие скорости после столкновения. Этот факт не влияет ни на одну из оставшихся частиц. Каким образом мы находим скорости после столкновения? Мы просто решаем уравнения сохранения количества движения и энергии, помня при этом, что столкновение наступает в направлении /. Соотношение (66) мы напишем так:
R = A11(I)R, (67)
где (I) есть просто оператор перехода. Он
R
+ (^- — V1) Il 4 + (^i-V1)U
65
показывает, что надо делать с R, чтобы осуществить переход к R'.
Интересным и очевидным фактом является то, что (I) является поворотом большой сферы. Действительно, это легко доказать, так как сумма квадратов (63) остается после столкновения той же самой, что и до столкновения. Я должен был сказать, что здесь выполняется еще один закон сохранения, а именно, закон сохранения полного количества движения. Следовательно, мы здесь, собственно, имеем дело не с Зтг-мерной сферой, а с (Злг — Замерной сферой. С этим связаны некоторые трудности, так как у нас есть стенки сосуда, а при столкновениях с ними закон сохранения количества движения не выполняется, как мы это хорошо знаем. Ведь иначе мы не имели бы давления на стенки. Это обстоятельство, однако, не является самым важным, и мы легко можем избавиться от этой трудности. А именно, как только частица доходит до стенки, мы искусственно обращаем ее движение вовнутрь сосуда с сохранением того же самого значения скорости. Если бы мы захотели учесть эффект, связанный со стенками, было бы слишком много писанины. Кроме того, вскоре мы приступим к рассмотрению упрощенной модели, по отношению к которой закон сохранения количества энергии не будет играть роли. Делаю я так не потому, что не люблю этого закона, а потому, что с математической точки зрения — это усложнение, которое в конце концов мало что дает для понимания общего характера явления. Итак, A^ (I) представляет поворот (Зп—3)-мерной сферы.
Мы можем теперь легко проследить судьбу каждой отдельной частицы. Она находится в какой-нибудь точке на сфере. В момент времени, когда наступает стремительный поворот, частица перескакивает в другую точку. Большую часть времени, однако, ничего не происходит. Затем по истечении длительного времени она снова делает скачок. После этого длительное время снова ничего не происходит. Вы можете представить эту частную схему эволю-
66
ции частицы газа как блуждание по (Злг — 3)-мерной сфере. Это блуждание точно описывается с помощью вероятностей, которые мы вычислили. Вероятности эти говорят нам о возможности выполнения каждого элементарного шага.
Итак, проблема заключается в следующем: дана функция ф (R1 0), т. е. начальное распределение точек (систем). Например, если бы мы знали относительно точно скорость, то имели бы очень большую плотность вероятностей около некоторой точки сферы. Возникает вопрос, как найти распределение ф (R1 t) для момента времени t. Вы видите, что
аналогия с предыдущей моделью М-уравнение почти полная. А поэтому все, что
надлежит сделать, это просто выписать М-уравнение, которое в нашем случае будет уравнением распространения вероятностей. Но вы помните, что наша временная переменная была дискретной (прерывной), так что это привело нас к разностному уравнению. Теперь, однако, она является непрерывной, и мы надеемся получить дифференциальное уравнение первого порядка по отношению к ней. Это — следующее уравнение:
-Ф (Я, (68)
Оно является M-уравнением.
Указанное уравнение очень интересно. Я обращаюсь здесь особенно к математикам, так как в этом уравнении оператор действует на независимую переменную, находящуюся под знаком функции. Уравнение, может быть, имеет несколько странный вид, но, несмотря на это, у него много интересных свойств, которые мы сейчас рассмотрим. Один факт можно уже заметить. Если мы будем исходить из произвольного распределения, удовлетворяющего некоторым условиям регулярности (это является обязательным), то в силу упомянутого случайного «качания» сферы это распределение подвергается
