Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
OO
X ^ <%(6) {/2(xcos8 + ysin9, — (xsino + ?/cos6,?) —
-/2(я,2/, Ob (76)
Это уравнение очень похоже на уравнение Больцмана. В самом деле, чтобы получить из него уравнение Больцмана, надо заменить /2 произведением величин Z1. Если мы теперь предположим, что функция /2 (х, у, t) по тем или иным соображениям дана формулой
М*. У**) = ZiK t)U (у, t), (77)
то мы можем подставить это произведение в интеграл и сразу получаем нелинейное уравнение, которое для этой модели в точности совпадает с уравнением Больцмана. Если бы мы в действительности захотели найти уравнение Больцмана, надо было бы применить тот же самый прием, а именно, проинтегрировать наше прежнее М-уравнение (68). Вместо простых двумерных поворотов мы получим настоящие повороты, только и всего.
Возникает теперь вопрос, нельзя ли наше предположение (77) как-то мотивировать. Я хотел бы здесь снова обратить ваше внимание на один очень важный факт. Наше М-уравнение, из которого мы должны суметь все вывести, является не только линейным уравнением, но также и уравнением пер-
74
вого порядка относительно времени. Его можно символически записать в следующем виде;
Хорошо известно, что формальное решение такого уравнения записывается в виде
Ф(Я,*)=в'°<р(Д,0). (79)
Показательный сомножитель разлагается в степенной ряд при обычной интерпретации получающихся в разложении последовательных степеней оператора. Отсюда немедленно вытекает следующее следствие. А именно, как только мы фиксируем ф (R, 0), все становится полностью и однозначно определенным. Поэтому в момент времени t нельзя делать произвольные предположения, т. е., следовательно, формулу (77) принимать как допущение. Это допущение можно сделать в момент времени t = 0, поскольку начальная ситуация зависит только от нас. Итак, допустим, что нам удалось начать с распределения <р (R, 0), которое обладает свойством (77) в начальный момент времени t = 0. Возникает вопрос, не сохранится ли это свойство? Этот вопрос имеет принципиальное значение. Если оператор Q не обладает свойством, позволяющим сохранить распределение в виде произведения двух сомножителей, то не существует никакой возможности найти уравнение Больцмана.
На поставленный вопрос дает от-Хаос, хаотичные вет теорема, которая имеет гром-распределения кое название «теоремы о распространении хаоса». Я сформулирую эту теорему, не приводя ее доказательство. Назовем распределение хаотичным, или, как бы мне хотелось его назвать, обладающим свойством Больцмана, если выполняется следующая формула для суженных плотностей:
k
lim ff (Xli,.., Xk; 0) = П lim /і»> (X11 0). (80)
П—»•OO j __ 1 П -> CQ
75
Строго говоря, нам надо определить, что следует понимать под пределом функции. Мы не будем здесь вдаваться в подробности, достаточно сказать, что сходимость будет здесь пониматься как сходимость в слабом смысле.
Мы будем также говорить, что последовательность функций плотности имеет свойство Больцмана, или свойство хаоса, если для каждого к выполняется равенство (80). Первый вопрос, который здесь естественным образом напрашивается — это вопрос о том, существуют ли такие распределения? Ответ является утвердительным. Действительно, я расскажу вам, как построить даже относительно широкий их класс. Итак, упомянутая выше теорема гласит: хаос продолжается вечно. Это просто сзначает, что мы можем заменить 0 на t в формуле (80), иона по-прежнему останется верной. Если мы установим это свойство в момент времени t = 0, то оно сохранится навсегда. Доказать это в реальном физическом случае нелегко. В нашем же случае — случае «карикатуры» газа — это легко доказать, но доказательство является несколько скучным. Указанная теорема верна в общем случае, и никто не будет в этом сомневаться. Я хотел бы, однако, предостеречь вас от одной вещи. Если говорят, что хаос распространяется, то с этим можно согласиться. Ведь если мы исходим из хаотичной ситуации, предполагающей только столкновения, создающие еще больший хаос, то, собственно, почему бы этому хаосу не распространяться? Однако это просто слова, которые могут привести только к недоразумениям. Ведь хаос не означает отсутствия порядка; наоборот, это весьма специфическое свойство начального распределения, которое в действительности означает асимптотическую независимость. Ведь суть формулы (80) заключается просто в констатации факта, что для очень больших п скорости частиц действительно независимы. То обстоятельство, что оператор Q сохраняет это свойство, несомненно, очень выгодно. Мы за это благодарны, а заодно и удивлены, почему дело обстоит именно таким образом?
76
Итак, если мы поверим в утверждение о том, что хаос продолжается вечно, то разумно и выгодно перейти просто к пределу при п -> оо и раз навсегда покончить с уравнением Больцмана. (Сходимость все время понимается в слабом смысле.) Это, конечно, интересно. Когда-то я придавал этому факту больше значения, чем следовало бы. Ведь нелинейность этого уравнения происходит от весьма специального выбора начального условия. Она не является чем-то органически связанным с самой проблемой. Основная проблема имеет характер линейный, но только с огромным числом неизвестных. Причина появления здесь нелинейного уравнения отнюдь не состоит в том, что в самом механизме коренится нелинейность. Скорее это происходит оттого, что мы обязательно хотели исходить из начального разложения, которое имеет весьма специальную структуру (и, конечно, еще потому, что мы хотели реконструировать теорию Больцмана).
