Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кац М. -> "Несколько вероятностных задач физики и математики" -> 16

Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.

Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. Под редакцией Випра И.Г. — М.: Наука, 1967. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): nesklverzadpofizimat1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 53 >> Следующая


Все сказанное выше опиралось на трактовке задачи с помощью теоретико-вероятностных методов. Ведь мы просто предполагали, что нашу первоначальную модель можно заменить вероятностной моделью. Мы условились при этом, что не будем интересоваться этим механизмом в деталях. Мы заменили нашу первоначальную модель новой моделью, в которой в каждый момент времени имеется определенный переход из состояния 6 в состояние г| с вероятностью, выраженной достаточно сложной формулой. Динамика модели помогла нам только отгадать, или, если угодно, вывести формулу вероятности перехода. Я подчеркиваю это потому, что описанному методу мы будем подражать при выводе уравнения Больцмана.

Опираясь на нашу новую модель, мы можем продвинуться несколько далее, А именно, мы можем

49

спросить, нельзя ли этот теоретико-вероятностный метод как-нибудь обосновать? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны вернуться к уже рассмотренной основной задаче, а именно, спросить себя, означает ли (D) то же самое, что (L)1. В общем случае это очень сложная проблема. Существует, однако, некоторая надежда на решение, и даже уже существуют некоторые частичные результаты. Как у нас (т. е. в США. — Прим. перев.), так и в СССР имеются люди, которые пробовали решить упомянутую проблему, рассматривая конкретные динамические системы. Вся трудность заключается в том, что мы не можем решить уравнение, аналогичное уравнению (41), т. е. уравнение Лиувилля, которое описывает нам эволюцию распределения в фазовом пространстве. Оно связано со всеми теми осложнениями, которые характерны для уравнений движения очень сложной динамической системы. Поскольку невозможно решить его точно, очень трудно дать обоснование процедуры Больцмана. В нашем случае дело, однако, обстоит проще, потому что мы можем уравнение Лиувилля решить точно и усреднение проделать в конце.

Итак, посмотрим, что будет происходить. Начнем как раз с того самого начального распределения, с той разницей, что теперь мы будем пользоваться уравнением (41), и выпишем формулу для р (т|, t). Получим

P Ol» О — 2п + 2 S1W8p8p+! • • • Ep+t-l +

p

+ 2 wwv (8p • • • <w-i) (8g • • • v*-i) + • • • (54)

р<9

Теперь, естественно, коэффициенты, стоящие при этих членах, уже не убывают показательно. Они равны или + 1, или — 1, поскольку, как вы помните, каждое ер равно + 1 или — 1. В конце концов это не удивительно, так как мы еще не произвели усреднение по отношению к положению множества S. То, что мы написали, представляет I/, т. е. оператор, возведенный в степень t. Теперь мы должны

50

произвести усреднение по отношению к положению множества S:

<р(Ч. *)> = 2й +2 S1W <ерер+1... B^1) + P

X(ee...ee+W)> + ... (55)

Мы имеем здесь интересную вещь — первые два члена в точности те же самые, что и раньше. Дело в том, что (Єр«««Єр+*-і) есть среднее для произведения, и мы предположили, что ер выбраны независимо друг от друга (мы помним, что в каждой точке р мы нашли эти значения, бросая монету). Следовательно,

(V--еін.*-і> = <еР>---<еін.*-і>= (!—W- (56)

Таким образом, действительно два первых члена в точности те же самые, что и раньше. Трудности начинаются, когда мы переходим к следующему члену. В нем мы имеем ер...ер+/_! и eg...eg+/-1. Если бы эти две группы были полностью отделены друг от друга, иначе говоря, если бы они не имели ни одного общего е, то мы могли бы утверждать, что среднее для произведения равно произведению средних, и получили бы то, что надо, а именно: (1 — 2[х)2'. К сожалению, однако, в нашем случае эти группы не разделены. Введем величину:

л / *\ і 2t> ЄСЛИ У — РУ^

А 0^-0H 2(,-0, есл. (5?)

Если мы теперь вычислим среднее, то получим следующий результат:

«V¦ ¦ «W) (Bq... e5+w)> = (1 - 2(х) а*.* а. (58)

Отсюда следует, что если р и q близки друг к другу, то сомножитель, вызывающий стремление к нулю, делается равным (1 — 2[i)2fp—^ и уже не вызывает

51

стремления к нулю. Последний член c12... л%... I)n вообще не меняется.

В чем же состоит трудность и как от нее избавиться? Следует решить уравнение Лиувилля, а затем найти среднее. Это правильный способ, наверняка именно так и следует подходить к задаче. Все же мы не получим того же самого результата, что и в случае применения более удобного метода Больцмана. В этом как раз и состоит трудность; она появляется также и в реальном физическом случае. Мы хотели бы иметь дело с методом Больцмана: ведь мы знаем, как с ним оперировать и как его применять. В действительности же вместо этого мы располагаем уравнением Лиувилля и возможностью нахождения среднего. В результате мы не получаем тех же самых результатов. К счастью, в нашем случае это расхождение не является столь уже важным.

Мы можем избавиться от этой трудности следующим образом (существует несколько способов; мы рассмотрим только один из них). Допустим, что мы исходим из симметричного распределения. Это означает, что функция р (т|, 0) является симметричной по отношению к своим аргументам t]1,..., t]n. Другими словами, не существует никакой разницы между точками, мы не можем отличать одну от другой. Если р (т|, 0) является симметричным распределением, то все ck равны, все см также равны и т. д. Но если даже мы будем исходить из симметричного распределения, то и тогда в процессе эволюции эта симметрия подвергнется уничтожению. Это произойдет в силу того, что некоторые из коэффициентов будут умножены на (1 — 2[х)2<, а некоторые на (1 — 2[х)(р —9). Мы могли бы, следовательно, сказать, что с течением времени начальная неразличимость подвергнется уничтожению. На языке теории газов это означает, что в нулевой момент времени мы не в состоянии различать частицы, но по истечении некоторого времени, когда они несколько раз столкнутся, появится возможность их идентификации. Перспектива не из приятных; мы, следовательно,
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 53 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed