Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Я не сумею предложить пример явления, при котором столкновения происходили бы таким образом. Я просто идеализирую с помощью математики более сложную ситуацию, описанную выше. Этот искусственный газ, который только что мы сконструировали, некогда был назван проф. Уленбеком в одной лекции «карикатурой газа». Фактически так оно и есть. Карикатура должна подразумевать некоторое сходство, так как иначе она не была бы хорошей карикатурой. Подвергнем ее обсуждению, так как мы сможем лучше и легче понимать дальнейшее, если избавимся от балласта математических трудностей. Однако, прежде чем мы пойдем дальше, вспомним еще, что все происходит на сфере Ъх\ — п. Наша ближайшая цель состоит в том, чтобы показать, как можно вывести нелинейное уравнение из М-уравнения. Затем я укажу на математические трудности, появляющиеся, когда мы переходим к исследованию аналогичной проблемы, но в реальном (неупрощенном) случае.
Прежде всего мы должны определить / (х, t). Вспомним, что на языке Больцмана выражение / (х, t) dx дает вероятность того, что частица имеет в пределах элементарного объема dx и в момент времени t скорость х. Когда, однако, мы говорим «частица», это не значит, что мы должны их различать. Мы не говорим «частица № 17», потому что сказанное с равным успехом может относиться и к другой частице. Поэтому, чтобы иметь дело с возможно более выгодной и реалистической ситуацией, мы должны предположить, что по крайней мере в момент времени t — О частицы являются неразличимыми. Это означает, что ср (/?, 0) является функцией, симметрической относительно всех иксов. Легко
71
показать, и вы, безусловно, мне поверите, что если она является симметрической в момент времени t — О, то она останется таковой все время. Итак, функция ф (Д, t) является симметрической относительно всех иксов для каждого t. Суженные Определим теперь так называемые
распределения саженные распределения, или,
иначе, суженные плотности. Первым сужением является
/^CM)= $ <p(R,t)dov (73)
Х2 ~Ь + хп~П — х2
Я поясню, что это должно означать. Мы фиксируем скорость первой частицы и интегрируем ф (/?, t) по тому, что получится, т. е. по (п — 1)-мерной сфере. da1 является соответственно определенным элементом поверхности этой (п — 1)-мерной сферы. Ф (й, t) da1 означает, следовательно, вероятность нахождения остальных скоростей в do\, когда скорость первой частицы равна х. Если мы затем проинтегрируем по всем другим скоростям, то получим просто плотность вероятности того, что X1 = х. Теперь вы легко сможете определить второе сужение:
tf*(x,y,t)= \ <p(R,t)dov (74)
x2s-\- ... -f х^ = п — Xі — у*
которое является просто совместной плотностью вероятности. Грубо говоря, это вероятность того, что одна частица имеет скорость х, а другая скорость у в момент времени t.
Больцман интересовался главным образом функцией Z1 (х, t), так что он пробовал получить уравнение, относящееся только к ней. Как мы можем получить такое уравнение? Надо проинтегрировать М-ура-внение (72) по всем переменным, за исключением одной. Зафиксируем X1, обозначая эту переменную на время через х, и проинтегрируем по получив-
72
шейся (п — 1)-мерной сфере. Интегрирование вполне элементарно и не стоит им здесь заниматься. В результате мы получаем следующее уравнение:
dfT (X9 t)
Уп — х2
п
— 1
dt
п
—Yn — X2
X \ g(6){ ff (xcos^ + г/ sin O, — X sin 9 +ycosQ}t) —
Мы могли бы, конечно, идти дальше и вывести уравнение для совместной плотности Дп> (я, г/, t). Следовало бы только проинтегрировать М-уравнение по всем переменным, за исключением двух. Если мы это сделаем, то обнаружим, что уравнение для /<п) (х, у, t) содержит суженную плотность Л3) (х-> Уі z-> О- Я хотел бы обратить ваше внимание на следующую любопытную деталь, которая является камнем преткновения для статистической механики явлений неравновесности. А именно: обратное движение происходит не так, как следует. Обычно это движение идет от чего-то более сложного к тому, что проще, А здесь, чтобы вычислить Z1, надо знать/2; если мы хотим иметь /2, надо знать /3 и т. д. И эта цепь, вместо того чтобы замкнуться, наоборот, продвигается в неудобном для нас направлении. В теории турбулентности, когда мы вычисляем корреляции индивидуальные, двойные и т. д., мы встречаемся с подобным же явлением: двойные корреляции содержат тройные, тройные в свою очередь — корреляции четвертого порядка и т. д. Тогда, отчаявшись, говорят: пусть корреляция четвертого порядка будет нулем. Это — следствие нетерпеливости людей, появившейся в связи со всей этой бесконечной цепью. Математика, однако, это такая наука, занимаясь которой нельзя быть нетерпеливым. По крайней мере, надо подумать, что делать дальше.
-f?Hx,y,t)}dB. (75)
73
Уравнение Прежде всего заметим следующее.
Больцмана Допустим, что п->оо. Тогда мы
можем избавиться от сомножителя
п~ *, который дает просто единицу. Что касается
интегрирования по переменной у, то дело представляется более трудным, так как пределы могут быть произвольными. Мы, однако, будем оптимистами, и предположим, что они равны —оо и + оо. Уравнение (75) примет тогда следующий вид:
