Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
67
размыванию. В пределе, когда время стремится к бесконечности, предельное распределение на сфере должно быть равномерным. Я несколько забегу вперед и скажу уже теперь, что это, в сущности, эргодическая теорема, примененная к нашей конкретной модели. Чтобы доказать, что это распределение в конце концов становится равномерным, надо несколько ближе присмотреться к этим весьма специальным поворотам (/). Они в действительности являются шестимерными поворотами, так как каждое столкновение связано только с двумя частицами. Надо было бы доказать, что они порождают собственно всю группу поворотов (Злг — 3)-мерной сферы или, говоря строго, транзитивную подгруппу группы поворотов. Это означает, что мы можем перейти от каждой точки на сфере к каждой другой точке на сфере или сколь угодно близко к любой точке на сфере с помощью разных комбинаций этих поворотов. Это хорошо известное условие из теории цепей Маркова. Цепь Маркова называется эр-годической, если из каждого состояния можно перейти в каждое другое состояние. В нашем случае мы можем перейти из одной точки сферы в любую другую точку сферы, выполняя лишь такие повороты. Это можно доказать; впрочем, мы будем еще говорить об этом несколько позднее.
Сейчас я хотел бы обратить ваше внимание на следующие важные факты — для того, чтобы показать вам, какие неожиданности тут могут случиться. Наше М-уравиение (68) является линейным уравнением. Более того, это линейное уравнение содержит в себе все допущения, которые Больцман когда-либо делал. Эти допущения, естественно, коренятся только в формуле для (/). С другой стороны, Больцман пришел к уравнению (62) — нелинейному уравнению! Возникает вопрос, какая между ними имеется связь? Каково отношение между <р (Д, t) и / (v, t)? Какая существует связь между линейным Af-урав-нением со многими неизвестными и нелинейным уравнением Больцмана с немногочисленными неизвестными?
68
Более простая модель газа
Отвечая на эти вопросы, мы будем вынуждены несколько упростить нашу модель, чтобы оказаться в состоянии доказать все строго. К сожалению, не все, что мы докажем для упрощенной модели, я могу доказать для неупрощенной. Этому мешают математические трудности. Никто, однако, не сомневается в том, что при наличии большей изобретательности, чем та, которой я располагаю в настоящее время, их можно будет преодолеть. Я попробую удержать если не все, то большинство из характеристических черт нашей проблемы. Но одновременно я сведу задачу к такой, которую я смогу проанализировать. Это известная процедура. Если нельзя решить поставленную проблему, то мы пробуем ее соответственно упростить, очевидно, соблюдая при этом меру. Единственное условие — мы не должны слишком впадать в тривиальность.
Упомянутая упрощенная модель такова. Первое упрощение будет состоять в том, что вместо трехмерных скоростей мы будем рассматривать скорости одномерные. Это упрощение является, вообще говоря, несущественным. Скорость і-й частицы обозначим через X1. За закон сохранения энергии примем условие:
х\ + х\ + ... + xl = п. (69)
Итак, теперь состояние нашей системы описывает точка R = {хг, х2, Xn}, лежащая, на дг-мерной сфере (69). Другое упрощение состоит в том, что рассматриваемые переходы будут иметь вид
X1 cos0 + sin 0 -^sinO + Xj cos 0
(70)
Xn
что мы будем записывать в виде Rf = A^(Q)R.
69
Вы видите, что изменения касаются физических столкновений. Вместо сложных шестимерных поворотов наше столкновение приводит теперь к очень простому двумерному повороту. То, что я написал, означает, что еслиг-яи /-я частицы сталкиваются, то возникающие в результате этого столкновения скорости получаются поворотом на угол 6. Угол 6 играет роль вектора /. Здесь мы как раз и нарушаем закон сохранения количества движения. Энергия все еще сохраняется, количество же движения уже нет, разве только в среднем. И это потому, что мы имеем дело с одномерной моделью, которая слишком бедна для того, чтобы одновременно выполнялись два закона сохранения.
Теперь мы сделаем существенное упрощение, которое превратит этот газ в почти максвелловский газ. Предположим, что вероятность перехода R -> R является функцией только угла 6, а именно:
Prob {R-+K} = ~g(Q)dQ dt, (71)
где g (6) ^ 0. Мы можем при этом также предположить, что g (6) = g (— 6). Это — обычное предположение, которое в физике известно под фантастическим названием принципа микроскопической обратимости и которое в большинстве рассуждений не нужно, по крайней мере если речь идет
0 математической стороне.
Напишем теперь М-уравнение, ко-М-уравнение торое в данный момент приобре-
тает следующий простой вид:
я
01 =4 2 ^(6){cp[^(w]-
-Ф(Я, t)}d9; (72)
п в знаменателе возникает как результат сделанного предположения (71). Это — параметр, который, од-
70
нако, необходимо сюда включить. Ведь мы хотим удержать аналогию с уравнением (64), в котором объем фигурирует в знаменателе. Но объем пропорционален числу частиц — это просто число частиц, умноженное на собственный объем. Следовательно, мы всегда имеем в знаменателе величину, пропорциональную числу частиц.
