Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Остается только проблема, захватывающая многих людей, проблема, которой посвящено много работ, а именно, можно ли описанный подход как-то обосновать. На нашем примере это легко решить. А именно, заметим, что мы рассматривали вероят-
42
ность перехода по отношению к единице времени, а затем пользовались матрицей P с целью получения всех дальнейших распределений. В действительности, однако, мы должны сначала решить уравнение Лиувилля (41), а только потом произвести усреднение.
В обоих случаях мы усредняем Два основных относительно положения множе-
метода подхода ства S. Только в первом случае
мы сначала усредняем, а затем осуществляем распространение (изменение во времени), а во втором наоборот: сначала осуществляем распространение, а затем усредняем. Первая процедура, опирающаяся на М-уравнение, носит название итерационного усреднения. Однако в действительности имеет смысл сначала решать уравнения Лиувилля для времени t, а затем выполнять усреднения. Но ведь до сих пор мы совсем не имели уверенности в том, что обе эти операции переместите льны, что обе эти процедуры равносильны. В самом деле, обратим внимание на то, что мы, собственно, делаем. Это можно было бы представить более наглядно, хотя несколько нестрого, следующим образом. Первое соотношение между р (t) и р (0) можно записать в виде формулы:
р(9=<1р(*-1)>=<?>р(<-1) =
=<L>'p(0)*). (47)
Распространение получаем при помощи итерационного усреднения. Другое соотношение, соответствующее формуле
p(t + l)=<Z'p(0)> = <Z<> р(О), (47)
представляло бы собой видоизмененный подход Гиббса, а именно: сначала решение уравнения Лиувилля, если это возможно (а это почти всегда возможно), а затем усреднение.
Мы сумеем дать только интуитивное обоснование (очевидно, это не является доказательством) того, что результаты являются теми же, что и в случае
*) L является оператором Лиувилля.
43
динамической системы. Это очень глубокий факт, который неоднократно облегчает нам жизнь. В самом деле, мы не должны решать уравнение Лиувилля, т. е. (что эквивалентно) решать уравнения движения. Если бы мы сумели раз навсегда доказать, что нам безразлично, какую из двух процедур осуществлять: усреднять степень (с показателем t) оператора, или же усреднять сам оператор, а затем возводить его в степень г, мы были бы в весьма выгодном положении. Как я уже упоминал, в большинстве современных применений теории вероятностей, статистической механики и кинетической теории всегда делают это допущение. Берут за основу то, что происходит за очень короткий промежуток времени, усредняют оператор перехода по отношению к этому короткому промежутку времени и, наконец, этот усредненный оператор берут за оператор распространения. Так делают не только в классической статистической механике, но также и в квантовой статистической механике, например, в случае вывода уравнения Паули и Ферми. Мы всегда говорим, что существуют случайные фазы; по истечении короткого времени мы усредняем относительно них. Через некоторое время усредняем снова. Усредняем беспрерывно, тогда как в действительности должны подождать до конца вычислений.
В следующей лекции я покажу вам, как можно точно записать решение для обоих рассмотренных здесь способов. Затем мы увидим, какая возникает разница, и обсудим ее. Несколько подробнее я покажу вам, как можно написать соответствующее М-уравне-ние в случае идеального газа, в котором столкновения имеют парный характер. В этом случае М-уравнение будет линейным уравнением, из которого мы сможем получить все общие выводы: Я-теорему Больцмана и другие вещи. Я покажу вам, какова связь этого уравнения с нелинейным уравнением Больцмана. Затем, уже имея этот запас знаний, мы сможем продвинуться несколько далее и рассмотреть некоторые другие стохастические модели, которые, хотя и отличаются друг от друга, все-таки некоторым
44
образом связаны. Например, в теории броуновского движения можно применить очень сходный способ рассуждения. Только операторы становятся несколько более сложными, а М-уравнение переходит в этом случае в уравнение диффузии. Несмотря на это, в основе лежат те же самые идеи, о которых шла речь выше.
ЛЕКЦИЯ ТРЕТЬЯ
Вспомним, на чем мы остановились. Мы попробовали обсудить нашу задачу с чисто, если можно так выразиться, вероятностной точки зрения. В самом деле, мы сказали себе, что наша система может находиться в произвольном состоянии, описываемым вектором т|, компоненты которого равны +1 или —1. При каждом переходе (шаге) мы можем перейти из состояния 6 в состояние т|. Мы хотели вычислить вероятность этого перехода. Собственно, мы ее уже вычислили. Теперь мы можем написать интересующее нас уравнение
P(Ib^l) = Sp(M)JM* ІП). (48)
б
По существу, это в точности матричное уравнение (46), только выписанное в явном виде. Согласно с тем, что сказано раньше, это М-уравнение. В математической литературе оно известно как уравнение Чепмена— Колмогорова. Оно, конечно, является следствием наших допущений.
Постараемся сначала создать себе подходящую базу в нашем фазовом пространстве. Я напоминаю, что оно является очень простым множеством, элементами которого являются векторы с компонентами, равными +1 или соответственно —1. Рассмотрим следующие функции:
