Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
26
мы имеем ровно т элементов, выглядит следующим образом:
2 ер = п — 2т. (20)
р
Мы можем теперь сказать, что означает среднее. Оно просто означает суммирование по всем возможным последовательностям е1? е2, zt при условии (20), а затем деление на число всевозможных последовательностей.
Число всевозможных последовательностей очень легко указать, так как мы здесь должны выбрать т элементов из п элементов. Это — известный коэффициент Ньютона ^ j; знаменатель мы, таким образом, знаем. Числитель несколько более сложен. Это — величина е1? е2, et, просуммированная по всем возможным последовательностям при соблюдении условия (20). Я покажу вам способ вычисления этой суммы. Заметим, что трудность здесь заключается в условии, наложенном на ер. Ведь если бы мы могли просуммировать по всевозможным последовательностям, тогда все дело было бы неслыханно простым. Действительно, мы были бы должны тогда просуммировать каждое ер (р = 1, 2, t) по всевозможным значениям и полученные числа перемножить. Поскольку ер могут быть равны или +1 или —1, эти суммы тривиальны.
Наша трудность, следовательно, связана с условием (20). На такое положение вещей мы все время наталкиваемся в задачах теории вероятностей. Настоящий пример является только элементарным образцом этого. Применим теперь следующий прием. А именно, заметим, что все рассматриваемые здесь числа являются целыми. Примем во внимание следующую формулу:
J_?_^_ -/0' если ^0' о\\
Im^ —Xi1 если 1 = 0. [ 4
Это хорошо известная формула из теории функций комплексной переменной, записанная здесь в несколько нетипичном виде. Контуром интегрирования
27
является окружность с центром в начале координат. Подставим теперь в эту формулу I =^гр — п + 2т:
V
0, если ^ер^п — 2т,
V
1, если ^гр — п — 2т.
V
(22)
Сумма, которую мы ищем, равна
2 ЄіЄ2"-Є<2^§ 2e, + ... + e„-n + 2m+l • (23) по всем є
Теперь мы просуммируем по всем е, так как о нашем неудобном условии как раз и позаботился приведенный выше интеграл.
Поменяем местами интеграл и сумму
JL ?_dA_ V 8I8* ••-8* (24)
2яіу z2m-n + l 281 + ... + 8n- К**)
по всем є
Эту сумму легко вычислить. Заметим, что общий член в этой сумме можно записать следующим образом:
(гі*)(їШ P5)
причем мы считаем, что t меньше п. Общий член, таким образом, распадается на произведение сомножителей, каждый из которых зависит от своего индекса. Следовательно, можно суммировать каждый сомножитель отдельно, а затем их перемножить. Другими словами, можно сначала провести суммирование по е1? затем по е2 и т. д. А что произойдет, если мы будем суммировать первый сомножитель по ех? E1 равняется или +1, или —1, так что результат
равен просто -— z. Сколько таких выражений? Их
всего t. Последний сомножитель ведет себя несколько иначе, так как в числителе не фигурирует е. Он 1
дает —\- z, а выражении этого рода мы имеем п—t.
2m
dz
.E1 + ... + єп — n + 2m+l
28
Следовательно, вся сумма просто равняется
1 Wl \n-t
- + z) . Рассмотренную сумму я могу
\ Z J \ Z
теперь представить в виде интеграла
^^(1-,/(1 + ,)". (26)
Приведенный выше прием очень прост, но и достаточно распространен. Следовательно, важно хорошо понять все шаги. Выполнив легкие алгебраические преобразования, мы получаем
<2'>
Вспомним, что все это выражение мы должны поделить на (^j. Так вот, мы можем написать сложную формулу для {J^j, которая будет иметь вид, сходный с формулой (23). Действительно, имеем я\ V 1
т
по всем є
2 2m § e. + .-. + en-.n+jjm+i • (28)
В приведенной выше формуле вычисления надо делать только тогда, когда 28Р равно п—2т; впро-
тивном случае интеграл равен нулю. Это выражение в правой части точно такое же, как (23), если в него подставить t — 0. Поэтому
(мы можем просто получить эту формулу из (27), подставив t = 0). Выпишем теперь полностью то среднее, которое мы хотели иметь:
/Nc(t)-Nb(t) У z [і +Z2J *™ UZ (Ш
г 1 (1+*2)у ' V^)
Это удобный и сжатый способ записи рассматриваемого среднего. Но здесь указан также и способ
29
его вычисления, которое будет хорошим и простым упражнением на применение так называемого метода седловой точки (скорейшего спуска) *). Рассмотрим случай, когда п очень велико, и предположим, что min стремится к [х, когда п -> оо. Предположим, сверх того, что 2[х меньше 1. Применим метод седло-вой точки сначала к интегралу в числителе. Прежде всего напишем подынтегральное выражение в показательной форме. При этом достаточно рассмотреть только сомножитель, содержащий пит. Остальное не зависит от п и т. Следовательно, имеем
(1 -f - z2)n _ Iog (1 + z2] _ 2т log ^ ^2Jj
Выбор ветви логарифма здесь не имеет значения — результат от этого не зависит. Мы теперь должны найти место, в котором производная показателя степени является нулем, т. е. седловую точку. Какова же производная показателя степени? Эта производ-
2nz 2т ~ ^ ная равна ^ ---—. Она будет равна нулю,
