Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Мы станем теперь несколько более Вероятностный «софистами», причем такая тенден-анализ ция будет в дальнейшем возра-
стать. Сейчас я хотел бы ввести некоторый математический формализм, изложение которого закончится в следующей лекции. Введем следующие обозначения. Точки нумеруем от 1 до п\ р пусть будем числом, заключенным между 1 и п\ { — 1, если р принадлежит S,
Ч = і п (Ю)
{ +1, если р не принадлежит о,
+1, если шарик в точке р .в момент t является черным. JAAX
Цъ(*) = 1 л (11)
ір\ / »—I, если шарик в точке р '
в момент t является белым.
23
Последняя величина, разумеется, изменяется с течением времени: в различные моменты р-й шарик либо черный, либо белый. Запишем теперь, что мы знаем о нашей модели. r\p (t + 1) означает цвет шарика, находящегося в момент t + 1 в точке р. Он пришел туда из точки р — 1, одновременно меняя цвет или не меняя, в зависимости от того, принадлежала ли точка р — 1 множеству S или нет. Таким образом, непосредственно получается:
Лр(' +I) = b^1ViW- (12)
Это только символический способ записи динамики нашей модели. Формула (12) говорит, что цвет шарика в точке р в момент t + 1 является цветом этого шарика в предыдущей точке в момент t, умноженным на —1, или +1, в зависимости от того, меняется цвет или нет. Двигаясь так шаг за шагом назад, легко приходим к следующей формуле:
Лр (0 == V-* (0) ep-iSp-2 -. - <W (13)
Это просто ^-кратное повторение формулы (12). Поскольку мы предположили, что в момент t ~ 0 все шарики должны быть черными, r\^t (0) должно быть равным 1, так как в начальный момент все ц равны 1. Это было упрощающим предположением. Теперь возьмем сумму всех к)р:
S Лр (*) = S VA-2 • • • Vt- (14)
р р
Каков смысл этой суммы? r\p (і) равно +1 для черного шарика и —1 для белого, так что эта сумма представляет просто число черных шариков минус число белых шариков. Разделим обе части на п и будем говорить об относительной разности:
JL [7VC (t) - Nb (*)] = 1J ViV2 - - - (15)
24
Вы видите, что мы зашли столь далеко, как могли. Но теперь можно сказать и о дальнейшем: допустим, что мы знаем о множестве S только то, что оно имеет ровно т элементов. Однако мы не знаем, где они помещаются. Для каждого возможного положения множества S можно найти число, которое мы назвали относительной разностью. Мы можем рассмотреть все числа этого типа. Другими словами, мы будем исследовать не индивидуальное множество S, а все допустимые множества S. Рассмотрим числа
1 [Nc(t) -Nb(t)]g (16)
при всевозможных положениях множества S. Будем надеяться, что при этом будет наблюдаться достойное внимания явление — именно, что большинство значений этих чисел будет скапливаться около числа (1 — 2[х)*. Правда, некоторые из них будут удалены от этого числа, но большинство, и притом подавляющее большинство, будет близко К (1 — 2[х)'.
Сначала, однако, я хотел бы установить более скромное утверждение, а именно, что среднее всех этих чисел, так называемое среднее по всем возможным положениям множества S, в точности равно (1 — 2\\)1 . Таким образом, нашей задачей будет теперь отыскание этого среднего. В следующей лекции я подробно докажу, что результат будет именно таким, каким мы его ожидаем. Операция взятия этого среднего пока еще не определена точно; сначала надо пояснить, как надлежит усреднять. Здесь мы будем иметь дело с некоторым произволом, от которого, как мне кажется, полностью освободиться нельзя ни в одной физической ситуации. Мы всегда приходим к моменту, когда мы должны решить, как проводить усреднение. Для нашей цели предположим, что все положения S в равной мере вероятны. Это значит, что нет способа выделить какое-либо положение среди других. При наших выводах будем всегда помнить, что они получены в предположении о равновероятности положений множества S.
25
ЛЕКЦИЯ ВТОРАЯ
Теперь я хочу найти среднее:
< I [A^c(O-^b(«)]>{S) =
р
В любом случае среднее суммы равно сумме средних. Поэтому символ усреднения я могу ввести под знак суммы (само собою разумеется, что мы проводим усреднение относительно всех возможных положений множества S, так что знак S внизу можно опустить):
< I W-ЛГЬ (*)]> =
= 4" 2 ^ 8P-18P-2, ••8P-^' (18)
р
Все, что теперь надо заметить, — это то, что все эти средние одинаковы. Ведь в действительности совершенно неважно, каким является р. Вы можете взять произвольную точку и даже суммировать в противоположном порядке. А поэтому
(±lNc(t)-Nb(t)]) = (eie2...et). (19)
Как вычислить это среднее? Ведь до настоящего момента я ничего не сделал в этом направлении, а только воспользовался одним из наиболее основных свойств операции усреднения. Теперь же мы должны уточнить, что мы понимаем под средним. Под операцией усреднения мы понимаем следующее. Все ер, независимо от того, будут ли это +1 или —1, должны удовлетворять некоторому условию. И это потому, что в множестве S имеется ровно т элементов. Итак, в чем состоит это условие? Оно состоит в том, что если мы просуммируем все 8р по отношению к индексу р, то в результате получим т минусов и п—т плюсов, или в целом п—2т. Итак, условие, выражающее тот факт, что в множестве S
