Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кац М. -> "Несколько вероятностных задач физики и математики" -> 13

Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.

Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. Под редакцией Випра И.Г. — М.: Наука, 1967. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): nesklverzadpofizimat1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 53 >> Следующая


Забудем теперь вообще, что существует детерминистический способ эволюции системы. Мы можем построить очень простую цепь Маркова. Будем рассуждать следующим образом. Состояние системы полностью определено вектором к]. В каждый момент времени мы переходим от этого вектора к другому в зависимости от того, каково наше множество S. Мы знаем, что если в момент времени t наша модель находится в состоянии 6, то в следующий момент времени t + 1 она будет находиться в состоянии т|, где к] простым образом зависит от 6, а именно:

Si = C1T)2,

~ Є2Лз>

К = VIi- >

(42)

39

Если мы знаем, каково наше множество S1 то мы знаем все ер, а следовательно, и сам переход. Это совершенно ясно. Но в нашей модели все гр являются случайными величинами. Мы должны, следовательно, спросить себя: какова вероятность этого перехода, т. е. какова вероятность реализации какого-нибудь определенного перехода за один шаг. Эту вероятность перехода обозначим символом P (Ь\ц). Она дается формулой

P (6 I Ч) = Prob { b1 O1t]2, b2 = O2t]3. . .,bn= Ont]1 }.

(43)

(Мы должны помнить, что все е, г) и б равны или +1 или —1, а поэтому безразлично, напишем ли мы є или 1/е, г) или 1/т), и, наконец, б или 1/6. Это очень удобная алгебра). Так как мы знаем, что все є являются взаимно независимыми, то вероятность легко вычислить. Утверждение, что все є выбраны независимо друг от друга, значит в точности то же, что и равенство

Prob { b1 = O1t]2, b2 = O2t]3, . . . , En = Ont]1 } ==

п

= JJProb{eA = 6ft%+1}. (44)

И снова появляется некоторая задача. А именно, мы не знаем, равняется ли oat)a+1 +1 или —1. Это выражение может равняться и тому, и другому. Проще всего этот факт можно записать в следующем виде:

Prob {eA = 6ft%+1} = і- +Sft%+i. (44')

Поэтому, если okr\k+1 равняется +1, то в качестве вероятности того, что гк будет равняться единице, получаем 1 — \i. Наоборот, если ohr\khl равняется •— 1, то в качестве упомянутой выше вероятности получаем в точности [х, т. е. формула (44') работает хорошо. Вероятность перехода будет, следовательно, равна п

P ФIЧ) = П { T + 8^k+I}. (43')

40

Теперь, когда мы уже имеем вероятность перехода из состояния 6 в состояние т|, мы можем сделать нечто большее, воспользовавшись хорошо развитой теорией цепей Маркова.

Итак, вспомним, каково началь-М-уравнение ное распределение. Это — 2П по-

ложительных чисел, которые в сумме дают единицу. О начальном распределении мы можем мыслить, как о векторе, который имеет 2П компонент. Аналогично, о вероятности перехода P (6 I к]) мы можем мыслить как о матрице порядка 2пх2п. Чтобы узнать, каким становится распределение после выполнения первого шага, следует умножить вектор р(0) (т.е. начальное распределение) на эту матрицу. Чтобы узнать, что будет после двух шагов, следует снова умножить на ту же самую матрицу, которую для краткости обозначим буквой Р. Чтобы, таким образом, узнать, что будет после t последовательных шагов, следует просто возвести эту самую матрицу в степень t:

р(*) = і*р(0). (45)

Следовательно, если мы принимаем эту теорию, то все, что нам следует сделать, чтобы получить распределение в момент времени t, это найти P1 и помножить на начальное распределение. В частности, — и это я хотел бы показать, — совершенно безразлично с чего мы начнем, т. е. безразлично, какое р(0) мы выберем. Для возрастающих t компоненты вектора р (t) стремятся к одним и тем же значениям, независимо от выбранного вначале р(0). Следовательно, если мы можем заменить нашу модель цепью Маркова, то все дальнейшее будет зависеть от матрицы Р.

Рассмотренный выше метод подхода к исследуемой проблеме известен в настоящее время под названием «Master equation approach)) (подход с точки зрения уравнения-управителя). Через некоторое время я поясню, почему его так называют. Выпишем уравнение, дающее переход от момента времени t к моменту времени t + 1:

p(i + l) = i>p(0. (46)

41

Это уравнение известно, как «Master equation» (уравнение-управитель). Термин был предложен много лет назад Уленбеком, и сначала думали, что слово «Мастер» относится к нему. Однако в этой терминологии оно относится к самому уравнению (46), так как оно дает нам всю нужную информацию (в дальнейшем мы будем это уравнение коротко называть М-уравнением). Например, в предыдущем уравнении, где мы рассматривали число черных шариков минус число белых шариков, информация была только частичной. Хотя мы знали, как ведет себя во времени превышение черных шариков над белыми, мы не знали, какова вероятность того, что черный шарик окажется в момент времени / на месте с номером 17. Если мы хотим обязательно иметь информацию этого рода, то мы можем ее получить из приведенного Л/-уравнения, так как оно дает нам точное значение, в любой момент времени, вероятности какой угодно данной ситуации. Это как раз и является причиной, в силу которой уравнение (46) названо таким образом.

В физике обычно просто принимают за основу М-уравнение. Мы говорим, что между каждой парой состояний исследуемый переход возможен. Каким-нибудь образом мы находим вероятность перехода, а затем уже можем приняться за исследование самого М-уравнения. Очень интересно с дидактической точки зрения — я покажу это вам, опустив многие подробности, — что М-уравнение этого рода можно вывести в случае газа. Исходя затем из этого уравнения, которое является линейным, можно вывести нелинейное уравнение Больцмана. Это будет интересным примером ситуации, когда нелинейное уравнение является следствием уравнения линейного — интересное явление, которому следует посвятить немного времени.
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 53 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed