Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
55
просто зафиксируем п, a t будем считать малым по сравнению с тг, например, не более 1^n. Дальнейшие рассуждения отложим до рассмотрения уравнения Больцмана, с которым связаны те же самые трудности.
Рассмотренная модель была для нас полезной. Мы детально познакомились на ее примере со всеми трудностями, всеми проблемами и способами подхода к задаче, которая рассматривается в связи с кинетической теорией явлений, не находящихся в равновесии. Может быть, по сравнению с действительностью все это выглядело довольно сложным, ибо рассматриваемые формулы были несколько длинными. Посмотрим теперь, что можно сделать, если с самого начала предположить, что мы имеем дело с стохастической моделью. Сначала я скажу несколько вступительных слов. В классической физике (т. е. не учитывающей квантовую механику, где появляются разные дополнительные факты) вероятность используют двояко. Существуют теории, которые уже с самого начала так и напрашиваются на стохастическую модель. Не говоря ничего о том, как это обосновать и можно ли вообще это обосновать, просто считают, что рассматриваемый процесс является стохастическим. Затем его подвергают анализу. Примерами таких проблем могли бы, например, служить броуновское движение, шум в электрических сетях и т. п. Во всех задачах этого рода с самого начала охотно принимают за основу рассуждений стохастическую модель.
С другой стороны, существует гораздо более широкий и старый класс физических теорий, группирующихся вокруг кинетической теории и статистической механики, где использование теории вероятностей должно быть обосновано. Действительно, ученые того времени, прежде всего сам Больцман, чувствовали себя не в своей тарелке, когда оперировали вероятностью. Даже сегодня большинство физиков, сталкиваясь с задачами, связанными с газами или жидкостями, чувствуют некоторое нежелание поль-
Уравнение Больцмана для газов
56
зоваться вероятностью. Они всегда утверждают, что должен существовать какой-либо способ, позволяющий трактовать данную проблему чисто динамически.
В примере, который мы так долго обсуждали, я пробовал по крайней мере показать,что обоснование теоретико-вероятностной модели возможно. Очевидно, что даже тогда, когда она будет обоснована, остается еще постоянная необходимость проводить усреднение. В каждой вероятностной модели, будь то в физике, будь то в других науках, необходимо существуют определенные недостатки, связанные с определением множества, относительно которого мы осуществляем усреднение. В рассмотренном нами случае это было множество S. В этом заключается вся проблема, если дело идет о способе введения вероятности в кинетические теории механики. Вплоть до настоящего времени полностью она не решена. Я хотел бы, однако, показать вам, что в случае теории идеального газа наиболее элементарную часть рассуждений Больцмана можно облечь в вероятностную форму и при этом вполне последовательно. Совершенно таким же образом, как мы выписали М-уравнение в случае нашей модели, мы можем написать соответствующее уравнение и для идеального газа. Мы можем тогда исследовать его, применяя чисто математические методы, и проверить,. согласуются ли выводы, которые мы из него получаем, со стандартными выводами других теорий. Эта точка зрения приводит к весьма разнообразным задачам как математическим, так и физическим. Многие из этих действительно важных математических задач надлежащим образом еще не решены. Некоторые из них очень интересны, и в дальнейшем мы их обсудим.
ЛЕКЦИЯ ЧЕТВЕРТАЯ
Вернемся на минуту к прежнему выводу уравнения Больцмана. Я бы хотел повторить его, чтобы подвергнуть критике. Больцман исходил из рассуждений о пространственно-однородном одноатомном
57
газе. А именно, представим себе, что в большом объеме V сосредоточены частицы газа. Для определенности допустим, что эти частицы являются твердыми шарами. Диаметр каждого шара равен б. Они подвергаются только парным столкновениям, и это единственный способ обмена энергии между ними.
Такова модель. Опираясь на эту модель, Больц-ман вывел свое знаменитое дифференциально-интегральное уравнение. Вероятность (причем Больцман всегда пользовался термином «число частиц») нахождения частицы в объеме drdv в момент времени t обозначим через /(г, V1 t) drdv. Предположим, что нет никакого внешнего силового поля, за исключением, быть может, существующего на границе рассматриваемой области. Уравнение Больцмана имеет такой вид:
| + "Vr/ = |\dv> \dl Uf1-Jf1W^-v)l\. (61)
Выясним теперь, что оно означает. Предположим, что частица, имеющая скорость v (в интервале dv)1 и частица, имеющая скорость w (в интервале did), сталкиваются в точке г. В момент столкновения линия, соединяющая центры частиц, имеет направление / (в интервале dl), причем / является единичным вектором. Величина / (г, V1 t) является плотностью вероятности того, что первая частица в момент времени t будет находиться в г и иметь скорость V. Величина Z1 (г, g), і) имеет аналогичное значение по отношению ко второй частице. Знак ^ означает, что вместо V и о надо подставить соответствующие скорости после столкновения. Эти скорости, естественно, полностью определяются законами сохранения количества движения и энергии. Интеграл по dl является поверхностным интегралом, распространенным на единичную сферу. Сомножитель |(ю —v)l\ появляется в силу того, что мы рассматриваем упругие шары. Если бы мы рассматривали шары, взаимодействующие по какому-либо другому закону, то тогда этот сомножитель был бы некоторой функцией,
