Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
52
должны не только следить за движением во времени и затем брать среднее относительно положений множества S, но, кроме того, должны еще проводить симметризацию по отношению ко всем переменным r\k.
Это, очевидно, не является каким-то логическим доказательством, совершенно независимым от убеждающей силы лектора. То, что мы в настоящий момент говорим, является, в сущности, вопросом веры, так как мы не располагаем логической аргументацией. Очевидно, однако, что невозможно проследить каждую частицу в отдельности, знать, где она находится в каждый момент времени, каков ее цвет и т. д. Неразличимость останется, таким образом, на протяжении всего времени. Если, следовательно, мы выполним теперь симметризацию, т. е. проведем усреднение по отношению ко всем возможным перестановкам переменных t]1, t]2,..., t]n, то придем к следующему интересному факту. Прежде всего, два начальных члена не подвергнутся при этом никакому изменению. Они будут равны
1 + (1 -2р)' C1 2% (59)
P
(поскольку все ck равны между собой, мы можем вынести C1 = ch за знак суммы). Посмотрим теперь, что произойдет с членами, в связи с которыми возникли затруднения. Они станут равными
см 2 (l-2fx)A(p'Q'/)
^vwt(n\- 2 WW (60)
Обратим внимание на члены, для которых А (р, q, t) равно 2t. Нежелательными членами являются те, для которых А (р, q, t) меньше 2t. Число таких членов имеет, самое большее, тот же порядок, что и п, а знаменатель — одного порядка с п2. Поэтому доля нежелательных членов очень мала (мы должны помнить, что п стремится к оо).
53
Аналогично дело обстоит и с остальными членами. В следующем, например, мы будем иметь в знаменателе, тогда как число нежелательных членов будет иметь самое большее тот же порядок, что и п2. Мы можем поэтому сказать (как это делают физики), что нежелательные члены можно просто отбросить, так как их мало в сравнении с остальными. Однако ничего нельзя сделать с последним членом в формуле (55), поскольку он просто вообще не меняется. Что бы мы ни делали с нашей моделью, последний член не подвергнется изменению. Здесь не поможет симметризация, абсолютно ничто не поможет, разве что такие члены в дальнейшем мы не будем учитывать. Можно рассуждать так. Если бы с12... п было большим, тогда наше начальное распределение содержало бы высокую гармонику. Обратим внимание на обычный ряд Фурье, где, например, коэффициент при очень высокой гармонике, скажем, десятитысячной, велик. Это означает, что соответствующая кривая имеет компоненту с частотой 10 ООО. Эта кривая делает тогда сложные выкрутасы, и мы должны знать ее ход на весьма малых временных отрезках чрезвычайно точно. В нашем случае мы должны просто предположить, что р (ц, 0) является сравнительно гладкой функцией. Другими словами, мы не можем допустить, чтобы наше начальное распределение имело слишком совершенную структуру. В частности, нельзя допустить, чтобы сначала были только черные шарики. Тогда коэффициент с12...п должен быть просто единицей. Все коэффициенты также равны единице.
Таким образом, мы должны прежде всего предположить, что функция р (т|, 0) является гладкой. Это позволит опустить последний коэффициент и другие похожие на него; с другой стороны, мы должны произвести симметризацию. Кроме того, имеется еще одна проблема. Ведь в равенстве (55) существует много слагаемых, и если даже в каждом отдельном слагаемом мы отбросим лишь малую часть членов, может случиться, что суммарная
54
ошибка, которую мы тут делаем, станет значительной. Более того, мы не можем даже быть уверены в возможности выяснить это на нашей модели. В физической литературе, где пробуют это делать в конкретном случае уравнения Лиувилля для газа, показывают (и даже не очень точно), что для нескольких начальных членов упомянутая ошибка мала. Накапливаются эти ошибки или нет, трудно сказать.
С другой стороны, можно сказать, что мы не стремимся удовлетворить полному М-уравнению. Нас скорее интересуют утверждения физического характера, касающиеся отдельных частиц, пар частиц, а также их троек. Не надо забывать, что М-урав-нение дает нам описание всей статистики по отношению ко всем возможным ситуациям, в каких могут оказаться частицы. Если мы намереваемся отвечать только на те вопросы, которые не будут касаться корреляции или совместных распределений, связанных более чем с тремя частицами, то, естественно, мы никогда не встретим произведений с числом сомножителей, большим, чем три. Если мы опустим тогда не обращающиеся в нуль члены, то это будет, конечно, вполне оправдано.
А поэтому приведенные выше рассуждения бросают некоторый свет на то, в какой степени можно опираться на М-уравнение. Мы наверняка не можем опереться на него в случае, когда выводы касаются числа частиц, сравнимого с полным их числом. Но с тем же успехом мы можем взять за основу что-либо другое. Так, например, мы можем заменить нашу детерминистическую модель (мы могли бы ее назвать детерминистической с усреднением в конце) моделью стохастической.
Существуют здесь и другие неудобства. Мы можем, например, столкнуться с бесконечными матрицами. Ведь если бы кто-нибудь захотел позабавиться с математикой, то наверняка захотел бы перейти к пределу при п -> оо. Тогда получилась бы бесконечная матрица, причем чисто математические операции, связанные с ней, были бы чрезмерно тяжелыми. Закроем поэтому на такущ розможность глаза и
