Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кац М. -> "Несколько вероятностных задач физики и математики" -> 15

Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.

Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. Под редакцией Випра И.Г. — М.: Наука, 1967. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): nesklverzadpofizimat1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 53 >> Следующая


(к^ I rn ^c...^Cn).

Сколько у нас есть величин этого рода? Вполне очевидно, что г), взятых по одной, имеется п. Имеем,

45

далее, величин r\k K]1 (к ^ I) и т. д. Следовательно, мы имеем ровно

^+(:)+(:)+(:)+...+(:)-2-

этих величин. Я утверждаю, что они образуют полный набор. Прежде всего, что означает t]1? t]1 следует рассматривать как функцию, определенную на нашем пространстве всех возможных последовательностей составленных из +1 и —1. t]1 означает, что надо всегда брать первую компоненту. A r\h Y)1 означает, что надо всегда брать произведение к-и компоненты на 1-ю компоненту. Итак, мы имеем здесь 2П функций, определенных на множестве всевозможных последовательностей, составленных из -f-і и —1, каждая из которых имеет «длину» п.

Так вот, я утверждаю, что каждую функцию вектора к], в частности, р, (т|, 0), можно выразить в зависимости от перечисленных выше функций. Действительно;

р (ч> о)=і+2 Wk+2???+• • •

... + сі2...п%ті2---т|й- (49)

Мы имеем здесь аналогию с разложением функции в ряд Фурье. В самом деле, можно легко задать коэффициенты этого разложения с помощью формулы Фурье. Например,

k^P(4)4h*\i- (50)

ч

Приведенная формула и, в принципе, законность всего разложения следуют из того факта, что наши функции ортогональны. Причина, по которой в формуле (49) появляется слагаемое 1/2п, заключается в том, что сумма всех р должна равняться единице. За исключением этой постоянной все остальные выражения дают в сумме нуль. Следовательно, эта постоянная должна быть выбрана так, чтобы

46

при умножении на 2й получилась единица. Такой постоянной как раз и является 1/2п.

Теперь возникает вопрос, что произойдет, когда мы поделим нашу матрицу P на каждое отдельное слагаемое разложения? Возьмем типичный простейший член, например T)1T)2. Это вектор с 2п компонентами. Применим к нему матрицу P и посмотрим, каким будет результат. Имеем

п

причем мы использовали равенство (43'). Что означает здесь суммирование по 6? Оно означает суммирование по всем O1, O2,..., on. Но ведь то, что мы суммируем, является произведением независимых функций. А поэтому мы можем просуммировать отдельно каждый член, а затем их перемножить. Это похоже на интегрирование функции п переменных, которая сама есть произведение п функций, каждая из которых зависит от своей переменной. Вы знаете, что тогда получается произведение интегралов. Суммирование же по O1 и O2 является очень простым. Но что мы получили в результате суммирования одного из остальных сомножителей? Если oh равно +1, получим:

если &к равно —1, получим

1 1 — 2fx

2 2 7Ib+1'

После сложения этих выражений получим единицу. Как же, однако, обстоит дело с сомножителем, в котором фигурирует O1? Существуют только два значения O1: +1 и —1, так что получим

(1-2[x)t]2.

Следовательно, просуммировав все, получим окончательно

PH1T]2} = (1-2^ ад,. (52)

47

Все это, в сущности, легко; каждый мог бы это сделать сам. И только, может быть, символика ответственна за то, что вся процедура выглядит более запутанной, чем она есть на самом деле. Однако без использования этой символики я должен был бы исписать три доски. Применяя оператор P к каждому члену разложения (49), мы получим следующее: действие оператора P состоит в умножении этих выражений на (1 — 2[х)2, что означает уменьшение их «длины» в том же самом отношении, а затем увеличение индексов на единицу. Так, собственно, действует оператор Р. Мы видели это на разобранном примере, и легко показать, что это справедливо и в общем случае. Интересно также, что произойдет, если мы применим этот оператор двукратно. Это, очевидно, будет означать умножение на (1 — 2[х)4 и увеличение индексов на две единицы. Если мы применим его t раз, то получим в результате умножение на (1 — 2\x)2t и увеличение индексов на t единиц. Само собой разумеется (о чем мы, впрочем, уже упоминали ранее), что если случайно какое-либо число станет больше п, то тогда его следует привести по модулю п к числу в рассматриваемом интервале. Мы теперь можем сразу написать решение М-уравнения. Все было подобрано таким образом, чтобы не возникло никаких хлопот. Итак, решение выглядит следующим образом:

Р(П,9 = ^+(1-2|*)'2с*»1*+.+

к

+ (l-2|i)« 2 ^zWIz+,+...+

к<1

+ (1 — 2\i)nt сі...я т)і+,т|2+* • •. W (53)

(см. уравнение (49)).

Рассмотрим внимательнее это решение. Оно очень интересно, так как целиком согласуется с нашей интуицией. Заметим, что в каждом члене, за исключением первого, стоит в качестве сомножителя показательная функция. Следовательно, когда t стремится к бесконечности, все эти члены стремятся

48

к нулю показательно. В пределе получаем распределение 1/2п, которое является равномерным распределением. Это общая черта всех уравнений, в которых матрица P является стохастической (существуют немногочисленные и несущественные исключения). Если все элементы матрицы неотрицательны, и если сумма элементов в каждой строчке равна 1, то такая матрица называется стохастической. За исключением некоторых случаев, о которых я не буду упоминать, достаточно высокая степень такого оператора обращает в нуль все, кроме одного основного собственного вектора. Мы имеем здесь превосходный пример, иллюстрирующий «размазывание информации». Сначала наше распределение р(г|, 0) могло быть сконцентрировано в одной точке: можно было бы, например, сказать, что оно было в точности равно единице на каком-либо одном определенном векторе, а на всех остальных — нулю. Мы знали бы поэтому точно, каково состояние системы в нулевой момент времени. Но в конце все состояния становятся одинаково вероятными, и тогда мы о нашей системе почти ничего не знаем. Выходит, что мы начали с точных данных, а кончили полным незнанием.
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 53 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed