Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Вы могли бы сказать мне, что все изложенное выше дает немедленный способ решения нелинейного уравнения Больцмана, поскольку известно решение М-уравнения, по крайней мере формально. Все, что следовало бы сделать, — это задать соответствующее начальное разложение, а затем формально проинтегрировать решение (79). Таков один из способов нахождения решения. Однако мы немного выиграли бы на этом, так как уже сам этот способ по меньшей мере столь же труден, как и непосредственное решение уравнения Больцмана. Конечно, мы сконструировали наш газ так, что (если мы только этого захотим) можем легко написать решение в явном виде. Я не буду входить в детали, поскольку вычисления являются длинными. Я хотел бы только подчеркнуть факт, который с дидактической и математической точки зрения действительно очень интересен, а именно то, что мы имеем здесь дело с совсем новым происхождением нелинейности — нелинейностью, созданной человеком! Мы вообще не должны бы были ее иметь; она является только ценой, за которую мы приобрели суженное уравнение.
77
Отсюда следует, что надо быть осторожным, желая замкнуть цепь уравнений вида (75). Обычно, когда устают делать вычисления, предполагают, что четвертый член можно выразить через второй. Однако тогда мы должны показать, что сделанное в момент времени J = O предположение сохраняется вечно. Этого обычно не делают, потому что люди высказывают предположения для того, чтобы получить ответ. Действительно же трудной вещью является доказательство того, что эти уравнения имеют смысл.
С другой стороны, все общие ре-Я-теорема зультаты, касающиеся задачи при-
ближения к равновесию, можно вывести из М-уравнения, и совсем нет необходимости переходить к уравнению Больцмана. В частности, я приведу вам доказательство Я-теоремы Больцмана, пользуясь только М-уравнением. Математик докажет его моментально. Надо только заметить, что оператор Q является самосопряженным и отрицательно определенным. Но мы проведем доказательство для нематематиков. (Это доказательство имеет общий характер; оно действует также и в случае М-уравнения (68), относящегося к реальной физической ситуации.) Прежде всего предположим, что фигурирующие здесь функции, употребляя математическую терминологию, интегрируемы с квадратом:
$ [ф(Д)]2^ог<оо. (81)
Это исключает такие начальные распределения, которые являются чересчур уже «утонченными». Например, б-функция Дирака не интегрируется одновременно с квадратом. Здесь требуется немного «размазанности», немного гладкости, потому что мы и начальное наше распределение считаем элементом пространства ZA Скалярное произведение определено там с помощью интеграла, распространенного по поверхности тг-мерного шара:
(ф,1>)= \ ф (R) г|>(#) da, (82)
78
Вычислим (йф, г|)) и покажем, что оператор Q является самосопряженным, т. е. что (йф, ф) = = (ф, С этой целью мы вынуждены предполо-
жить, что g (Q) = g (— 6) (это, как мы помним, называется микроскопической обратимостью). Имеем поэтому
(0«р, ф) =
я
= -Иdff 2 5г(в){ф(^«(в)А)-ф(А)}^(А)=
я
=4- 2 S ^(9) {S ^ <д> * <4« <9> W -
і j^n -я Sn
- $Лп|>(Я)ф(Я)}.
Теперь выполним замену переменных. Л^-(б) Д назовем Д'. Тогда R - і4г/(9) Д' = A^(-Q) R'. Замена do не является необходимой, так как наша замена носит евклидов характер, т. е. A^(Q) является жестким поворотом, сохраняющим элемент интегрирования на поверхности сферы. Следовательно, после этой замены получаем:
я
i^j -я Sn
я
- ^(R) cp(R) do} =J rfog(0)X
Sn i<j -я
X { ^ do №(A{j (0)IV)V(R) - ф(Я')]} = (ф, q*)-
4 (83)
Из этого следует, что оператор Q является самосопряженным. В более реальном случае (см. уравнение (68)) доказательство проходит точно так же; операторы A1^(I) являются там инволюциями (т. е. являются обратными по отношению к самим себе),
79
что делает доказательство даже несколько более легким.
Далее, почему оператор Q является отрицательно определенным? Сейчас увидим почему. Для доказательства этого свойства надо показать, что выражение
я
Sn i^j -я
никогда не является положительным. Здесь требуется одна маленькая хитрость. А именно, заменим ф2(Д)
на у[ф2(Д) + <р2(і4і;-(9)ії)]. Я утверждаю, что при
этом ничего не изменилось, поскольку интеграл от Ф2(ЛІ;(6)Д) в точности равен интегралу от ф2(Д). Ведь это та же самая замена неизвестных, которую мы делали раньше: жесткий поворот. Но заметим, что если мы так поступим, то под интегралом появится ——[^(A1J(Q)R)— ф(Д)]2. Мы должны, очевидно, еще умножить все это на неотрицательную функцию g(Q) и, следовательно, прийти к выводу, что
(Q<p, ф)<0. (84)
Если мы теперь внимательно присмотримся к изложенному выше, то заметим, что принцип микроскопической обратимости здесь совсем не был нужен, зато он был необходим при доказательстве самосопряженности оператора Q.
Я-теорема Больцмана следует отсюда немедленно. Возьмем М-уравнение (78), умножим на ф (A) и проинтегрируем по сфере. Получим
4?$Ф«(Я)*а==(Оф| ф)<0, (85)
что и заканчивает доказательство. Из всего этого следует, что существует некоторая величина (обозначим ее через Я), изменение которой во времени происходит только в одном направлении.
