Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кац М. -> "Несколько вероятностных задач физики и математики" -> 31

Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.

Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. Под редакцией Випра И.Г. — М.: Наука, 1967. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): nesklverzadpofizimat1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 53 >> Следующая


Что бы там ни было, в линеаризованном случае число нуль является дважды вырожденным. Это дает нам два способа затухания. Теперь возникает следующий вопрос. Мы знаем, что в общем нелиней-

97

ном случае мы получаем затухание до состояния равновесия. Какова связь между затуханием в последних стадиях и затуханием системы, находящейся в состоянии, далеком от равновесия? Можно было бы подумать, что линеаризация является приближенной процедурой, что периоды релаксации будут только некоторыми приближениями. Так вот, интересно, что дело обстоит вовсе не так, по крайней мере для нескольких первых периодов релаксации. На нашем примере это легко видеть, хотя я не знаю, как это можно было бы доказать в общем виде. Допустим, что собственные значения линеаризованного оператора A1 суть [x1, [х2, ... (нуль мы исключаем). Из решения уравнения (НО) мы видим, что / (я, t) является линейной комбинацией показательных функций, которые имеют в показателях собственные значения:

/(*, *) = Фо(*) +2 Фа (112)

к

Первый член соответствует состоянию равновесия, затем идет член, убывающий медленнее других, а именно, Cp1 (х)е^1. Далее следуют один за другим члены, убывающие все быстрее и быстрее.

Решением линейного уравнения (108) является также линейная комбинация показательных функций. Здесь, однако, присутствует большее число показателей. Действительно, тут фигурируют все линейные комбинации этих \ik с неотрицательными целыми коэффициентами. В этом легко убедиться, и я покажу вам в следующей лекции, как это делается. В нашем частном случае, который рассматривается в данный момент, такое утверждение можно строго обосновать, проделав все вычисления.

Уясним себе теперь, что все это означает. Самый медленный способ затухания, а именно, описываемый с помощью [x1, тот же. Следующий уже может не быть равным |л2. Вместо [x2 это может быть значение с временной постоянной 2[x1. Отсюда следует любопытный вывод. Нет никакого смысла пользоваться полным решением линеаризованного урав-

98

нения в качестве аппроксимации решения нелинейного уравнения. Ведь только первые два члена — члены, соответствующие равновесию и наиболее медленному способу затухания — являются наверняка теми же самыми. Затем могут появиться линейные комбинации, вклад которых больше. Нелинейность начинает играть более значительную роль только после 2[I1. Было бы нерациональным удерживать \xk за этим пунктом. Это часто совершаемая ошибка.

Будем снова исходить из нелп-Метод нейного уравнения Больцмана

Гильберта (108). Чтобы решить его, восполь-

зуемся одним способом, который применил Гильберт в случае полного уравнения. Его идея заключается в следующем. Пишем чисто формально:

/(я, t) = f0(x){l+Sp1(X, t) + г*р2(х, t) + ...}. (ИЗ) Здесь /0 является просто распределением в равно-весии: /0 = е 2 , є — некоторый параметр. Под-

ставим это разложение в обе части уравнения и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях. В результате мы получим целую иерархию уравнений. Первым из них будет

% = АА. . (114)

Выпишем также следующее:

d-§f = Ap2 + [Pi, P1], (114")

где я использовал так называемые скобки Больцмана, которые определяются формулой

оо Я

[ф. Ч>]= \ Uiy)dy \ § (9)[ф(ж cos 6 + у sin Є) X

— OO — jt

X i|) (— X sin б + у cos G) — ф (х) (у)] db. (115)

99

Начиная с этого последнего уравнения, все последующие имеют сходную природу. Например,

^щ- = Ap3 + линейная комбинация

выражений [pvP1]^[P1,p2],[P2iP*\- (116)

Теперь мы должны задать некоторые начальные условия. Наиболее простым является условие, требующее, чтобы было дано начальное распределение. Запишем его в виде равенства

f(x,0) = f0(x){l+h(x)}, (117)

которое просто определяет h(x). Идя вслед за Гильбертом, возьмем в качестве 8 единицу. Итак, начальное условие мы можем выразить формулами

P1(X1O) = h (х), Pf1(X1O) = O, к^2. (118)

То, что я говорил о наших временных постоянных, сейчас станет почти очевидным. Уравнение (114) мы можем решить операторным способом:

P1(X, t) = etAh(x) = 2в"*'фА(*)- (119)

k

Функции <pk (х) являются собственными функциями оператора Л; \ih являются собственными значениями. В нашем случае спектр, очевидно, дискретный. Что произойдет, если мы решим уравнение для P2(X1I)? Первое уравнение было однородным, а уравнение для р2 (X11) уже нет, поскольку оно содержит член Ip11 P1], который в свою очередь содержит квадрат функции P1(X11). Какие временные постоянные появятся, если мы возведем эту функцию в квадрат? Очевидно, появятся все постоянные вида \xk + W7. Далее, если мы найдем из уравнения (116) P3(X1I)1 то обнаружим, что функция P3(X1I) будет содержать

Vk + Vl + Vm'

Чтобы найти /, надо вычислить P1(X1I)1 р2(х, t), P3(X1 ... Эти функции будут содержать \ik1 \ik + + Ii11 Vk + Vi + Vm и т. д. Каждая функция р. будет иметь в качестве временных постоянных наши Ii1 затем суммы (х по два, суммы (л по три и т. д.

100

Описанный выше метод утверждает, что когда мы найдем все Pj1 то следует подставить их и принять 8 = 1. Величина є фигурирует только затем, чтобы знать, какие коэффициенты надо друг с другом сравнивать. Теперь 8 уже отсутствует. Мы считаем, что этот метод формально дает нам решение. Если ряд (112) имеет какой-нибудь смысл, и если его снова подставить в уравнение, то с формальной точки зрения он будет давать решение. Это совершенно очевидно. Если, однако, этот метод претендует на какой-либо смысл, он должен приводить к ряду, который в каком-то смысле сходится. Тогда приведенное заключение будет, очевидно, верным, и мы будем, следовательно, иметь все линейные комбинации этих (л. В случае нашей простой модели можно проверить, что указанный ряд действительно имеет смысл.
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 53 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed