Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
ЛЕКЦИЯ ПЯТАЯ
Может быть, будет полезно сказать несколько слов, хотя это и не будет иметь непосредственной связи с дальнейшим ходом изложения, откуда возник интерес к основам теории. Он возник не только из желания понять то, что происходит. Существует чисто практическая причина, а именно, мы хотим знать, как можно было бы обобщить теорию Больцмана. Уравнение Больцмана основывается на допущении, что плотность рассматриваемого газа мала. Это допущение возникает из-за того, что мы рассматриваем только парные столкновения. Мы ввели его с самого начала даже в рассматриваемой модели, а именно, мы предположили, что только пара частиц подвергается столкновению и, наоборот, никогда не сталкиваются тройка и более частиц за один раз. С некоторыми выводами из теории Больцмана и теории Максвелла было довольно трудно согласиться. Одним из них является, например, утверждение о независимости вязкости от давления.
84
Это, наверно, очень интересует каждого из вас, поскольку вы имеете дело со случаем, когда вязкость сильно зависит от давления. Однако вывод о независимости этих величин был вполне точным; его можно обосновать, например, в случае газа Максвелла. Это — математически доказанное утверждение, следствие из некоторой принятой модели. Хорошо, однако, известно, что в газах существует определенная зависимость вязкости от плотности (а отсюда и от давления). Интересно было бы, хотя бы в принципе, знать, как эту зависимость вычислить. Наша модель должна была бы подвергнуться некоторому видоизменению, которое, очевидно, должно было бы касаться столкновений более высокого порядка.
Итак, перед нами стоит задача расширить нашу теорию на случай, когда «входят в игру» столкновения более высокого порядка. До настоящего времени никто не знает, как это сделать. Если бы мне пришлось попытаться сделать то, о чем я только что говорил, я должен был бы знать, как вычислять вероятности тройных столкновений. Сделать это без серьезного анализа соответствующей физической ситуации, а также решения задачи трех тел мы не в состоянии. Делаются, однако, серьезные усилия, чтобы, исходя из уравнения Лиувилля, вывести, опираясь на соответствующим образом подобранный метод усреднения, следующее приближение уравнения Больцмана.
Я хотел бы здесь обсудить еще несколько пунктов, хотя и не имеющих большого значения, однако иллюстрирующих технику, которая может быть полезной и в других вопросах. Первым пунктом, о котором я хотел бы сказать здесь несколько слов, является вопрос, существуют ли вообще хаотичные
распределения. Выше мы много Класс хаотичных говорили об этих распределениях распределений и их свойствах, но, может быть,
действительно они не существуют? Поэтому первое, что здесь следует сделать, это доказать, что распределения, имеющие указанное
85
свойство, фактически существуют. Вот тривиальный пример: равномерное распределение на поверхности сферы. Мы уже говорили о том, каково первое сужение: оно дается уравнением (86). Но это не интересно. Мы бы скорее хотели, чтобы конечное равновесие характеризовалось хаосом частиц, поскольку в действительности — это состояние, в котором все перемешано так, как только можно. Таким образом, было бы интересно указать другие функции, которые обладали бы этим свойством. Обычно самый легкий и самый простой план оказывается самым удачным. А именно, возьмем произвольную функцию, скажем, с(х) (говоря «произвольную», мы не понимаем этого буквально; мы скоро увидим, какие условия надо на нее наложить), и определим
п
Покажем теперь, что приведенное выражение обладает свойством хаоса. Вы можете сказать, что тут почти нечего доказывать, поскольку это выражение уже имеет «хороший» вид, уже является произведением. Это было бы до некоторой степени ошибочным, потому что нельзя забывать об условии
А + А + ... + х2п = U1 (89)
гарантирующем сохранение энергии. Это условие связывает взаимно все иксы и нарушает тем самым независимость. Следовательно, чтобы показать, что хаос продолжается, следует вычислить сужения функций фп и показать, что они действительно удовлетворяют условию (80) в пределе, когда п ->оо. Нас побуждает к этому то обстоятельство, что такой метод применяется также в других задачах статистической механики. Он приводит к методу седловой точки — тонкому способу исследования, с которым стоит познакомиться.
86
Прежде всего мы бы хотели знать, каково асимптотическое поведение интеграла в знаменателе формулы (88), когда п-*оо. Если мы узнаем это, все дальнейшее станет очень простым. Итак, определим следующую функцию:
ад= \ Uc(xh)*°> (9°)
и попробуем вычислить в принципе преобразование Лапласа этой функции:
OO
^ со со
= j dx,... j rf*^-8« + "+*«)^)...^). (gl)
— CO —OO
Ясно, что это почти преобразование Лапласа. Достаточно произвести замену переменных, чтобы получить из этого выражения преобразование Лапласа, только более сложной функции. Оно как раз равно интегралу
OO
}^e-s?b±pldp. (92)
О " 9
Приведенный выше интеграл мы можем очень легко вычислить (вспомните, как вы вычисляли интеграл от функции е~^2 + у2)). Итак, получаем
