Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
OO OO
I ^ e-sp Fn(Vy) dp = I J в-*'ф) ^ J". (93)
О ' P "—OO
Мы имеем, следовательно, преобразование Лапласа и можем поэтому воспользоваться формулой обращения. Я предполагаю, что вы знаете соответствующую комплексную формулу обращения, которой мы как раз и воспользуемся. Комплексная формула обращения является одной из наиболее красивых и одновременно наиболее бесполезных вещей в математике, если не считать таких приложений, как
87
обсуждаемое в данный момент. Формула обращения имеет вид
y-Mco оо
2 ^ S eZ9[ \ e~ZX*c(x)dxXdz' (94)
' " y — гоо — оо
Если вы в данную минуту не помните доказательства, то можно заглянуть в какой-нибудь учебник, в котором говорится о преобразовании Лапласа. Глядя на формулу (94), мы убеждаемся в том, что нас не интересует эта функция как таковая. Нас интересуют только ее значения на сфере г2 = п. Следовательно, надо подставить п вместо р. Таким образом, мы получаем формулу
y + гоо оо
Рп(У^) = Ц- \ [ez \e-^c{x)dx\dz. (95)
y — гоо — оо
Из этой формулы мы можем получить информацию об асимптотическом поведении, применяя метод седло-вой точки. Действительно, к этому методу прибегают всегда, когда подынтегральная функция имеет очень высокую степень. Как найти седловую точку? Надо написать подынтегральную функцию в показательной форме:
OO
exp J n[z + log ^ e~zx2c(x) dxj^
— OO
и продифференцировать показатель по z. Займемся этим вычислением, которое в данном случае является достаточно легким, хотя и несколько длинным. Итак, напишем уравнение седловой точки, т. е. просто приравняем нулю производную:
OO
^ x2e~z°x*c(x)dx
1-=?---=0. (96)
^ e~z°x\{x)dx
— OO
Здесь Z0 является седловой точкой. Мы должны теперь предположить (поскольку я, к сожалению,
88
не могу этого доказать, по крайней мере в общем случае), что существует действительное решение этого уравнения. Если оно существует, то уже легко доказать, что оно должно быть единственным. Каждый может это проверить сам для некоторого количества функций.
Далее, мы должны перенести контур интегрирования (прямую) так, чтобы она проходила через седловую точку. Это означает, что мы подставляем у = Z0. Мы заменяем, следовательно, переменные и
подставляем z = Z0 -f і -^=-. Сразу получаем:
уп
со оо
FnQZH)=^- J [ J е-**<&11-*УУ*с(х)ах^а1. (97)
— OO — оо
Теперь надо разложить показательную функцию в степенной ряд по ?:
??(!-«¦)/^=1+ iUiy=x2}+ ^)2C2-*2)2 + ,., (98)
Далее надо еще умножить это на с (х) е~ z°x* и проинтегрировать почленно (это можно сделать). Первый член даст нам некоторое число:
OO
A = $ е~ z*xtc (х) dx. (99)
— 00
Интегрирование второго члена дает нуль в силу (96). Для следующего члена получаем -—где
OO
B = $ e-z<>x2c{x)x2dx. (100)
— OO
Остальные члены не вносят никакого вклада при предельном переходе п -> оо и поэтому их можно опустить. Итак, интегрирование по х дает нам
А —В. Это выражение надо возвести в п-ю степень:
89
а затем проинтегрировать по |. Интеграл по !¦ берется легко, так что асимптотическое поведение, которое мы ищем, дается формулой
Fn(VH) .JAf-T F e~Bx' dx. (101)
Yn л
- UU
Из уравнений (88) и (90) видно, что мы нашли асимптотическое поведение одного знаменателя. Если не обращать внимание на постоянную, то он ведет себя так, как п-я степень. Применяя теперь простой прием, мы можем получить все остальное. Для нахождения асимптотического поведения интеграла
$ 8(Xi)Hx2)Vn(H)(Io,
где g (х) и h (х) являются двумя произвольными функциями, мы можем применить почти точно такой же способ. Если мы положим h (х2) = 1, g (хг) — — б (х — X1) и поделим на знаменатель в (88), который мы теперь уже знаем, то получим одномерное сужение. Мы можем наши произвольные функции выбрать и так, чтобы получить вторую суженную плотность f^(x, у). Этот прием применяется очень часто.
Итак, проведем теперь в точности те же самые вычисления, введя функции h (х) и g (х). Вы можете повторить все без меня, так как здесь нет ничего нового. Таким образом, мы получим окончательно следующую формулу:
\ g (X1) h (X,) Wn (R) da ^-^р- і e-BxldxX
OO OO
[ ] g(x) e-z°x*c(x) dx] [ $ h(y) е-*°Угс(у) dy] X-Z^-_-=2!-.
(J e-z°x*c(x) dx]2
— OO
Она описывает асимптотическое поведение. Легко заметить, что наши вычисления пришли к концу. Ведь подставляя здесь h = 1 и g, равную б-функции
90
Дирака, и деля еще на знаменатель (101), получаем с* (д)= ^ *~2°х2сИ-в (102)
— со
Это — одномерное сужение. Мы можем также заменить h и g на б-функцию Дирака: это означает, что интегрирование распространяется на все переменные, кроме двух. Мы обнаружим тогда, что двумерное сужение просто равно произведению сужений: с* {х) с* (у). (103)
Трехмерное сужение, точно так же как и остальные сужения более высокого порядка, можно найти аналогичным образом. Они даются формулой (80), так что наше распределение (88) действительно обладает свойством Больцмана (или хаоса).
