Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Это линейное уравнение Больцмана принадлежит к хорошо известному классу уравнений. Мы встречаем его, например, в проблемах диффузии, а также в теории броуновского движения. Разница лишь в том, что там оператор гораздо более простой, вследствие того, что обычно броуновская частица очень тяжела, поэтому, когда она испытывает удар со стороны легкой частицы газа, ее скорость значительно не изменяется. Здесь, наоборот, скорость частицы изменяется: если она была равна х, то после столкновения с частицей, имеющей скорость і/, она становится равной х cos8 + у sin8. Обратите только особое внимание на огромное изменение скорости в случае столкновений под некоторыми углами!
94
Такое изменение можно заслуженно назвать резким. Если бы, однако, наша частица была очень тяжелой, а частица, с которой происходит столкновение, очень легкой, то тогда, естественно, законы сохранения количества движения и энергии при столкновении определяют оператор, в случае которого изменения скорости будут небольшими. Совершенно очевидно, что если какой-либо твердый предмет случайно столкнется с легким предметом, он не изменит существенно своей скорости. В пределе, когда отношение этих масс стремится к бесконечности, такой оператор приобретает вид второй производной плюс члены, содержащие первые производные, которые связаны с трением. Мы приходим к уравнению диффузии. Уравнение диффузии всегда является предельной формой уравнения Больцмана в линейном случае, когда отношение масс становится бесконечным. Оно не является каким-то отдельным новым уравнением.
Итак, линейное уравнение Вольц-Линеаризовашюе мана показывает, что может быть уравнение выведено из М-уравнения. В лг-
Больцмана л«
тературе, посвященной уравнению
Больцмана, встречается еще одно — третье уравнение Больцмана. Оно известно под названием линеаризованного уравнения Больцмана — не линейного, а линеаризованного! Это уравнение выводится из нелинейного уравнения, упомянутого выше, с помощью одного приема, о котором я сейчас расскажу. Пользуясь случаем, я хотел бы показать вам одну любопытную ошибку, часто совершаемую многими людьми. Это линеаризованное уравнение можно вывести совершенно независимо от М-уравнения путем непосредственного анализа уравнения Больцмана:
оэ я
I= J dy jj g(S) { /(зcos6+уsine,*) X
— OO — Я
X / (—жsino + у cos б, t) — f(x, t)f(y,t)}db. (108)
Применим теперь рассуждение, которым обычно пользуются физики. Из Я-теоремы Больцмана известно, что когда ?->оо, то f{x,t) стремится
95
к распределению Максвелла — Больцмана. Если мы очень близки к состоянию равновесия, то мы можем записать / (X1 t) в следующем виде:
/(*, 0 =/о CM)].
Функция /0 (х) обозначает здесь распределение Максвелла — Больцмана, а р (X1 t) является некоторой поправкой, которая должна быть малой в сравнении с 1. Подставим / (х, t) в линейное уравнение Больцмана (108) и опустим члены второго порядка. В результате мы получим линейное уравнение для р (х, t). Оно выглядит так:
оо я
% = \h(y)dy § g(6){/>(a;cos6+ysin6,*) +
— OO —Я
+ р(— ж sin 6 +2/coso, t) — p(x, t) — p(y,t)}dB. (109)
Мы опустили здесь все члены второго порядка и получили линейное уравнение, с которым сумеем справиться.
Итак, наконец, мы в царстве линейных операторов и поэтому можем говорить о собственных функциях и собственных значениях. При этом наш пример подобран так счастливо, что собственными функциями здесь являются функции Эрмита. Хотя к этому выводу можно прийти с помощью вычислений, в нем можно легко убедиться и с помощью чисто теоретических рассуждений. При взгляде на М-уравнение видно, что собственные функции являются шаровыми функциями на тг-мерной сфере. Мы имеем дело с сужением функции, а сужение шаровой функции является многочленом Гегенбауэра. В пределе, когда тг->оо, функции Гегенбауэра, соответствующим образом нормированные, известны под названием функций Эрмита.
Наиболее интересным в линеаризованном уравнении Больцмана
Ж=АгР (НО)
является как раз оператор A1. Он определяет затухание во времени, скорее даже последние стадии
96
этого затухания, поскольку мы близки к состоянию равновесия. Вычисляя спектр оператора A1, мы убеждаемся в том, что он очень прост. Этот спектр дискретен, причем он имеет конечный предел. Это интересный факт. Указанный конечный предел равен числу п
- $ g(B)d9. (Hl)
Собственные значения скапливаются около этого числа, называемого полным эффективным сечением. Число нуль принадлежит спектру, что сейчас же можно вывести из физических соображений. В этом случае существуют две собственные функции. Число нуль является вырожденным собственным значением. Факт, что степень вырождения нулевого собственного значения равна числу законов сохранения, обнаружен, кажется, Уленбеком. Доказательство его почти тривиально. В рассмотренном нами случае сохраняются две величины: число частиц и энергия, а поэтому собственное значение нуль для этого уравнения будет дважды вырожденным. В случае реального, максвелловского газа мы имеем пятикратное вырождение. Ведь в этом случае мы имеем ровно пять законов сохранения: частиц, энергии и трех компонент количества движения. Для линейного уравнения Больцмана (107) нуль также является собственным значением. Он должен им быть, так как это соответствует конечному распределению в состоянии равновесия. Но тогда он является однократным собственным значением, поскольку сохраняется только число частиц. Энергия не сохраняется, по крайней мере при отдельных столкновениях. Полная энергия, наоборот, сохраняется, как и следует ожидать, во всяком случае, если говорить о среднем значении. Но это нас не касается, ведь мы следим только за индивидуальной частицей.
