Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Я хотел бы отметить, что этот,
^ может быть, несколько странно
Связь с подходом, „9 г ґ
опирающимся выглядящий метод является, соб-
на ЛГ-уравнение ственно говоря, методом пертурбационным. Используя М-уравнение, можно легко выяснить, какова его основа. М-уравнение открывает нам, в чем смысл этого метода. Поскольку мы имеем дело с уравнением Больцмана, мы уже неявно предположили существование хаоса в нулевой момент времени. Это означает, что в случае М-уравнения наше начальное распределение должно факторизоваться или хотя бы в приближении факторизоваться, и каждый сомножитель должен давать сужение / (х, 0). Не входя в детали, мы можем, грубо говоря, написать:
п п
Ф<"> (A, 0) - П /(?-°) = П /о (?) {1 + h (xh)}. (120)
Но функции /0 (xk) после перемножения становятся очень простыми. В самом деле, мы получаем
і Y ( + + +
г ехр
Y 2л J
101
что является постоянной величиной. Следовательно, ее можно включить в коэффициент пропорциональности, и тогда мы получим
Ф<"> (Я,0) ~ 1 + 2 A(xk) + 2 A(?) A(X1) + ... (122)
к к,I
Что теперь надо сделать? Мы должны подействовать оператором еш, где Q является М-оператором. Далее мы должны произвести сужение. Когда мы все это выполним, первый член (постоянная) останется без изменения. Следующий член ^h(xk) даст нам
к
в точности р2 {х, і) и т. д. Это можно непосредственно проверить. Следовательно, метод Гильберта дает сужение этого очень простого разложения. Его преимуществом является то, что мы не должны вводить какие-то искусственные параметры. Просто надо найти разложение (120) и подействовать на него оператором. Тогда М-уравнение вместе со свойством хаоса дает нам некоторое представление о рассуждениях Гильберта. Эти рассуждения в свою очередь говорят нам все о временных постоянных решения.
Вот й все, что можно сказать об уравнении Больцмана и вопросах, с ним связанных. Вы видели, что там, собственно, было больше анализа, чем теории вероятностей. Теория вероятностей кончилась задолго перед тем, как мы выписали М-уравнение. Дальнейшее было только чистой проверкой факта, что получаются выводы, которых мы ожидаем, исходя или из интуиции или также из предварительного знания элементарной кинетической теории. Действительно, это характерно для большинства вероятностных теорий на этом уровне. Понятие вероятности исчезает уже в первой фазе, а дальше «входит в игру» уже только тот или иной род анализа.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ ДРУГИЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ЛЕКЦИЯ ШЕСТАЯ
Рассмотрим очень простую стохастическую модель: случайное блуждание. К сожалению, эта модель мало известна. Она имеет очень интересные свойства и приводит не к уравнению диффузии, а к гиперболическому уравнению. Эта модель появилась в литературе впервые в работе Сидни Гольдштейна, известного вам главным образом своими работами из области динамики жидкости. Эту модель предложил сначала Г. И. Тейлор, думаю, что не слишком удачно, как попытку описания турбулентной диффузии. Однако модель оказалась сама по себе очень интересной.
Задача состоит в следующем. Допустим, что мы имеем решетку, составленную из точек; например, имеем точки, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга, как на рис. 3. Из начала
0
—і-1-1-1-j-1-1-1-1—
Стохастическая
модель,
связанная
с телеграфным
уравнением.
Дискретное
случайное
блуждание
Рис. 3.
координат х = О выходит частица и все время движется со скоростью v. Она может двигаться либо в положительном направлении, либо в отрицательном. Допустим, что мы определяем направление движения, бросая монету. Каждый шаг занимает
юз
отрезок времени At1 и за это время частица проходит путь Ах. Имеем, следовательно, Ax = v At. В каждый момент времени, когда частица достигает какой-либо точки решетки, существует некоторая вероятность изменения направления движения. Допустим, что эта вероятность равна aAt. Тогда, очевидно, 1 — а At есть вероятность того, что направление движения останется тем же самым.
Итак, может случиться, что некоторое время частица будет двигаться в выбранном нами направлении, а затем вдруг изменит его, Некоторое время она будет двигаться в новом направлении, пока случай не повернет ее снова. И в дальнейшем она будет продолжать описанным образом колебаться. Как это обычно бывает в таких задачах, мы спрашиваем себя, какова вероятность того, что по истечении времени t частица будет находиться в некотором определенном интервале?
Мои обозначения будут несколько странными в случае дискретной модели, но позднее они окажутся удобными. Пусть X обозначает теперь только координаты точек решетки. Обозначим положение частицы после п шагов через Sn (при условии, что частица начинает движение из начала координат). Это, следовательно, есть ее положение по истечении времени п At. Возьмем теперь «произвольную» функцию ф(.т) и спросим, каково ее среднее значение (ср(ж + Sn))? Это среднее даст нам все, чего мы хотим. Пусть, например, ф(#) будет характеристической функцией некоторого интервала. Тогда наше среднее является просто вероятностью того, что частица после п шагов будет находиться в этом интервале, при условии, что она начала движение из точки х. Однако вместо такой специальной функции ц>(х) мы возьмем более общую функцию, что вовсе не усложнит нам за-
