Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Prob {N(t) = к} = e~at -?^. (21)
Это одно предположение. Другое, очень важное, предположение состоит в том, что если мы возьмем произвольное конечное число моментов времени, упорядоченных по величине
^<'.<Л<-"<Х. (22)
то приращения
- NH1), N(t3) - N(t2), N(tn) - N(tn_J(2S)
являются независимыми. Тогда N (t) является процессом Пуассона.
Предположим, что N (t) представляет собой число радиоактивных частиц, которые испущены до момента времени t. Тогда N(t2) — N(I1) дает число радиоактивных частиц, которые испущены в течение промежутка времени (tx, t2). Возьмем теперь другой промежуток времени, скажем (t3, /4), который не пересекается с первым. Число частиц, испущенных в течение первого промежутка, не зависит, очевидно, от числа частиц, испущенных в течение второго промежутка. Интуитивно это вполне понятно.
Если мы теперь предположим, — а это является одним из стандартных способов ознакомления с процессом Пуассона в элементарных учебниках, — что мы имеем некоторое событие, которое происходит с вероятностью а dt в промежутке времени (t, t + At) и не происходит с вероятностью 1 — а dt, то тогда число событий, которые произошли до момента
in
времени t, является процессом Пуассона. Можно считать это за основное определение. В частности, число столкновений, которые испытает наша частица до момента времени t, является процессом Пуассона. Вспомним, что когда частица испытывает столкновение, у нее меняется скорость. Как она меняется? Скорость может быть равной только v или —v. Если частица начинает движение в положительном направлении, то тогда ее скорость некоторое время будет равна v. В некоторый момент происходит столкновение, и скорость меняется, принимая значение —v. Она остается такой до следующего
Рис. 4.
столкновения, и так далее. График скорости будет выглядеть так, как это изображено на рис. 4.
Теперь возникает вопрос, как связать эту скорость с процессом Пуассона. Это очень легко сделать. Поскольку число столкновений до момента времени t равно N (t), и скорость меняет знак при каждом столкновении, мы можем написать
v(t) = v(—i)N(t). (24)
Эта формула говорит о том, что после четного числа столкновений мы имеем исходную скорость, а после нечетного — ту же скорость, но с обратным знаком. Положение частицы в момент времени t равно просто
t t
x{t) = \v{x)dx = v\ (— 1)N (0 dx. (25)
о о
Это непрерывный аналог ранее рассматривавшегося положения частицы после п шагов Sn.
112
Решение Аналогия с дискретным случаем
телеграфного многое нам подсказывает. Мы мо-
уравнения ^
жем надеяться, что решение телеграфного уравнения (16) с начальными условиями (17) и (18) выразится формулой
F(х, t) = <ф(X + v\(- 1)N(()dx)> +
О
+ {(ф(«-»І(-і)№(т)л)>. (26)
О
В самом деле, что мы сделали? Только заменили дискретное случайное блуждание непрерывным. А формула (26) это как раз результат, который мы нашли, рассматривая дискретный случай, но только переписанный для нашего непрерывного случая. Можно легко доказать, что (26) действительно является искомым решением. Это можно сделать непосредственно. Доказательство я очерчу позднее, но здесь интересным является вовсе не доказательство. Интересным, наоборот, является этот изящный способ записи решения телеграфного уравнения с помощью процесса Пуассона.
Сначала я хотел бы обратить ваше внимание на то, что здесь применение метода Монте-Карло является вполне возможным. У нас здесь уже нет трудностей с малыми вероятностями, с которыми в дискретном случае мы имели дело с самого начала. Теперь нам нужна только машина или радиоактивное вещество, которое «производит» процесс Пуассона. Затем мы берем, например, 100 реализаций процесса Пуассона, для каждой из них вычисляем интеграл (25) и строим среднее арифметическое полученных значений. Одну и ту же задачу, следовательно, можно сформулировать двумя различными способами, из которых один является полезным, а другой нет.
Второе замечание очень забавно и показывает, что если найти должную формулировку, то всегда получается больше, чем ожидалось. Наше решение
из
в виде (26) очень напоминает решение уравнения колеблющейся струны. Мы помним, что для колеблющейся струны мы имели просто g [ф (х + Vt) +
+ ф (х — Vt)] без всякого среднего. Эти два решения отличаются друг от друга только в одном отношении. Время / заменено «рандомизированным временем»
{(-if ^dX.
о
Далее, поскольку мы не знаем, каково точное значение нашего выражения, мы должны взять среднее значение.
Это забавное замечание остается
в силе для всех уравнений такого Соответствующие J г
уравнения вида при произвольном числе из-
при большем мерений. Возьмем, например, урав-
числе измерений нение распространения радиоволн: 1 PF ,2а OF д
Допустим, что мы снова хотим решить задачу с начальными условиями
F(x, у, 0) = у(х, у), (f)(=0=0. (28)
Правило для всех измерений следующее. Отбросим мешающие нам члены, возьмем в точности волновое уравнение. Напишем решение в произвольном виде. Решения очень хорошо известны для всех измерений. Затем везде, где в этом решении выступает время, заменим его «рандомизированным временем» и возьмем среднее значение. Это даст нам желаемое решение.
