Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
F(X1 0) = ф(я). (17)
Чтобы увидеть, что происходит с производной по времени, можно воспользоваться уравнениями первого порядка, однако это сопряжено с трудностями, поэтому я приведу вам результат без доказательства. Позднее мы получим тот же результат несколько иным путем. В данный момент прошу мне поверить, что / 8F \
(?).-0=0- (18)
Итак, мы уже имеем наши начальные условия.
К дифференциальному уравнению нас привел в известном смысле случай, воспользуясь которым, мы рассмотрим несколько вопросов. Прежде всего, существует один необычайно легкий предельный случай. А именно, это случай, когда а = 0. Тогда, очевидно, вероятность изменения Предельный случай направления равняется нулю.
Если частица начинает движение в некотором определенном направлении, то она никогда не остановится. Какова в этом случае функция F (х, t)? Теперь нет смены направления, а следовательно, нет также никаких случайных величин. Из формулы (4) мы получаем
F^(x) = (p(x +UvAt)1 а из формулы (5)
Fn (х) = ф (х — nvAt). Отсюда следует, что
F (х, t) = ф(*+*) + ф(*-*) f (19)
108
т. е. хорошо известный классический случай колеблющейся струны.
Все это очень красиво, но мало интересно. Кое-что, более интересное, можно получить, если а->оо и г;->оо так, что 2a/v2 остается постоянным и, скажем, равным HD. Это всегда можно сделать, и D можно выбрать совершенно произвольным. В этом предельном случае уравнение (16) становится уравнением диффузии:
\ OF d*F 9
Легко объяснить, почему мы должны были устремить а и V к бесконечности. Все мы знаем, что диффузию, или броуновское движение, можно рассматривать как случайное блуждание. Однако в стандартной модели вероятность движения направо и вероятность движения налево равняется каждая 1I2. Вы видите, что в нашей модели вероятности или очень малы или очень велики. Единственным путем, на котором их можно сделать равными 1I2 каждую, является устремление а к бесконечности, когда A^ стремится к нулю. Если а не стремится к бесконечности, тогда всегда будет некоторое течение. Вы знаете также из модели случайного блуждания, что скорость частицы является в пределе бесконечной. А поэтому мы должны в нашей модели устремить к бесконечности И V.
Прежде чем приступить к дальнейшему изложению, упомяну, что изложенный выше метод вывода телеграфного уравнения дает нам способ решения этого уравнения, повсеместно называемый в настоящее время методом Монте-Карло. Метод Все, что мы должны сделать, это
Монте-Карло просто обратиться к вычислитель-
ным машинам. Следует заполнить память машины случайными числами или же создать их, если они нужны. Из точки X мы выпускаем некоторое количество частиц; пусть половина из них летит в одном направлении, а половина — в противоположном. Через промежутки времени At мы «бросаем монету», пользуясь случайными числами.
109
«Монета» вывешена так, что вероятность изменения направления частицы равна а At, а вероятность его сохранения равна 1 — а At. В каждый момент времени t мы смотрим, где находятся все частицы, вычисляем значение функции ф для каждой частицы, складываем эти значения и результат делим на число частиц. Полученная величина является приближенным решением телеграфного уравнения для момента времени t.
Эта схема является очень плохой. Ведь если мы хотим иметь хорошую точность, мы должны взять маленькое At. Но это означает, что вероятность изменения направления близка к нулю, изменение направления очень мало вероятно. Мы имеем здесь такую ситуацию, в которой весьма трудно пользоваться методом Монте-Карло. Ведь имея такие малые вероятности, мы должны иметь очень большое число частиц. В противном случае флуктуация была бы огромной.
Итак, мы должны действовать очень осторожно. Я хочу теперь целиком освободить себя от вывода разностных уравнений. Всю
Непрерывная модель
проблему я буду трактовать как процесс с непрерывным временем. Мы не будем рассматривать время, изменяющееся скачкообразно. Чтобы это сделать, я покажу прежде всего очень удобный способ записи решения телеграфного уравнения. Это одновременно подскажет нам, как продвигаться в разных направлениях, как математических, так и физических.
Итак, предположим, что мы имеем Процесс Пуассона непрерывное движение частицы.
В течение каждого промежутка времени dt существует вероятность изменения направления, равная а dt. Вероятность сохранения направления равна, следовательно, 1 — а dt. Это сразу заставляет вспомнить Пуассона, о котором я уже упоминал. Определю теперь процесс Пуассона. Я не буду вникать в некоторые чисто математические трудности —- это втянуло бы нас в рассмотрение отдельных вопросов из теории меры. В этих лекциях
110
я буду придерживаться более интуитивного преподнесения материала.
Предположим, что N(t) является для каждого фиксированного момента времени случайной величиной (т. е. измеримой функцией). Это не есть точно определенное число, это — нечто, имеющее некоторое распределение. При этом N(t) может принимать лишь целые неотрицательные значения 0, 1, 2, ... . Вероятность того, что N(t) равно к в момент времени t, дается известной формулой Пуассона
