Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
пространственные индексы в свертке (а а). Тогда, например, * *
dx$)=cdx и CLy^b =CLil. Пока система отсчета не фиксирована, термин «нетривиальные скаляры» неуместен, поскольку они содержат трансформационные (лоренцевы) индексы. Очевидно, тривиальные скаляры — скаляры относительно каждой из групп преобразований, например R =^gllvR^v= =HilkRVK
Э. Шмутцером также вводится термин «физические компоненты», но для величин, не тождественных ни с величина-
*
ми типа Aki ни с величинами типа A^=h^aAa (см. п. 23.2).
Остановимся еще на термине «наблюдаемые». Как указывалось, Румером и Фетом он употребляется в смысле метрологической терминологии: «Значения наблюдаемых суть результаты измерений» [497, с. 133], т. е. как более современный синоним термина «физические компоненты». Основываясь на теории X. и. в термин «наблюдаемые» часто вкладывают другое содержание, понимая под наблюдаемыми хронометрические инварианты, в том числе х.и. трехмерные величины (см., например, [600, с. 140])*), т. е. специальные мировые компоненты. Из сказанного видно, что в этом смысле термин «наблюдаемые» уже выходит за рамки метрологической терминологии. Он также не совпадает по содержанию и с термином Эйнштейна «естественно-измеряемые величины».
21.6. Выделение кинеметрических инвариантов и ковари-антов в тетрадном представлении ОТО. Еще в работах [594, с. 150; 607, с. 1030] А. Л. Зельмановым обращалось внимание на то, что наряду с хронометрически-инвариантными метрическим тензором hik (21.10) и элементом длины (21.9) могут быть введены другие сходные по конструкции выражения
(12) Ум = — gik, yik = - gik + g0ig0k!g00, у = - gg00 (21.55) (метрика пространственного сечения я;0 = const) и
du2 = уIkdxi dx* = —gihdxidxk. (21.56)
*) См. также статью Л. Б. Борисовой в сб. «Проблемы теории гравитации и элементарных частиц» (1978, вып. 9, с. 111).
238. Метрика (21.10) зависит от выбора линий времени, но вследствие хронометрической инвариантности независима от выбора пространственных сечений, тогда как метрика (21.55) зависит от выбора этих сечений, но не от выбора линий времени и, вообще говоря, не является хронометрически-инвариантной. Подчеркивается, что х. и. метрика (21.10) («метрика пространства системы отсчета») всюду пространственно-подобна, а метрика (21.55), вообще говоря, нет. Поэтому определенные метрикой hik элементы длины, площади и объема всегда вещественны. В частности, у=det Уіь, в отличие от Л = det Hik может принимать отрицательные значения. Это приводит к мнимости объема соответствующих областей сечений. В связи с этим ставится вопрос «...о возможности того, что пространственный объем мировых (пространственно-временных) областей даже всего мира координатной системы, если его относить, вообще говоря, к другим системам,— конечен при одном выборе пространственных сечений и линий времени и бесконечен при другом их выборе» [607, с. 1031]. В работе [594, с. 151] резюмируется: «Таким образом, даже при выборе координаты времени и фиксации ее значения непосредственный физический смысл имеет не метрика (12) < (21.55) >, пространственного сечения X0=Const, а метрика (7) < (21.10) > пространства при x°=const». В монографиях [23, 56, 599, 600], уделивших значительное внимание теории x. и., метрика (21.55) и элемент длины (21.56) не обсуждаются.
Трехмерные гиперповерхности пространственных сечений x0 = Const и метрический тензор на ней (21.55) ввел Дирак [617] (перевод в [618, с. 141, уравнение (4)]). Существенным является введение единичной нормали [618, с. 148]: «Обозначим через № единичную нормаль к поверхности X0=с в некоторой точке последней, так что
^ftir = Of 1%= 1 <r= 1, 2, 3, >. (21.57)
Тогда
__i_
^ = ^V0) 2»- (2:1.58)
Поскольку х° = const рассматривается как пространственно-подобная гиперповерхность, то единичный вектор нормали является лоренцевым вектором Є(0), т. е. у Дирака принято
^ = ^(0) = ^0/ V?°> (21.59)
что совпадает с первым из соотношений (17.41), полученным при помощи (17.36) и неполного набора калибровок H0a = O из (17.37). Исходя из тетрадного представления, этот набор Дирак обсуждает в работе [618, с. 194]: «...мы должны вы-
239. брать тетрады... так, чтобы «the leg 0»<т. е. Є(,0)>бьіла нормальна к гиперповерхности... При таких тетрадах мы имеем Ajjl0=Zli или <Дирак не помещает лоренцевы индексы в скоб-ки>
__і_
(8) h00 = -(~g°°) 2, Hr0 = O, (21.60)
J_
(9) .../i°o-(-Sr00)2, h°a — 0, (21.61)
(10) h'a-hrb' = Ьа-ь; KaKa' = grs, (21.62)
<1 1) A0(O)Aoa' + Ar0Ara' = 0, hra'hoa' = gro> (21.63)
a', b' = 1, 2, 3» [618, с. 194]. В обозначениях, принятых в данной монографии, эти уравнения соотвеїственно примут вид: Ао(о) = - IIV^ST, Att(O) = 0> (21.64)
A0(O)= K^, A0a = 0, (21.65)
AaaAab = т]0&, AaaA?fl = (21.66)
A°(0)A0a + Aa(o)Aaa = ri(o)a = 0, AaAfl = ff «о- (21.67)
Следовательно, условия Дирака (21.60), т. е. (21.64), или {21.65) являются неполным набором калибровок трех первых условий (17.20) или трех первых условий (17.35). Эти условия, как видно из (17.36), т. е. после замены систем (21.66), (21.63) эквивалентной системой (17.36), позволяют найти компоненты (21.59) и затем метрический тензор (21.55) (уравнение (4) в работе [618, с. 141]). С учетом различия в выборе индексов и сигнатуры соотношения (21.61) или (21.65) приводят к (21.55).
