Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
В статье Н. В. Мицкевича [567, с. 76] формализм х.и. рассматривается как модификация метода т^-поля (единичного вектора ТцТ^=1, Sign=H----). Это условие нормировки хроно-монады сразу же дает
^ = , Тц = gou/Vguo > (21.18)
что приводит к выражениям (21.10), (21.11). Рассмотренные в § 19 калибровочные условия задают лоренцевы - векторы именно в виде, подобном (21.18), обобщая его включением компонент метрических тензоров различных подпространств 4-пространства ОТО.
21.4. Выделение хронометрических инвариантов и кова-риантов в тетрадном представлении ОТО. Это можно сделать
*) Недавно геометрическая интерпретация х. и. и их отношение к проблеме сохранения энергии в ОТО рассматривалась Хорским («Folia faculta-tis scientiarum naturalium universitatis purkynianae Brunensis. Physica», 1977, 28, JVb 4).
229.при помощи автономного неполного набора (16.6), принадлежащего классу Ламе, т. е. приняв
V = O, а = 1, 2, 3 (21.19)
(первые три условия в полном наборе (17.3) или случай мо-надного набора (17.48) при |лі = 0, тогда k = a). Из выражения (16.8) при этом видно, что
Aa(O) = O, a = 1, 2, 3. (21.20)
Поскольку A00=hoa = Єо • еа = 0 и так как rj(0)a = ©(a) • ea = 0, калибровка (21.19) требует, чтобы лоренцев вектор е(0) присоединялся к временной координатной линии касательно, а элемент локального пространства, в котором может быть введена триада еа, присоединялся ортогонально этой линии.
Подстановка калибровочного условия (21.19) в систему (13.5) выделяет автономную подсистему
go» = W = V0)V°40)(0), (21.21)
в которую входят все 4 компоненты лоренцева вектора е(о) и только они. При |л = 0 из (21.21) находим
/*0(0) = VziYoo > tI(O)(O) = - 1. (21.22)
Следовательно, решениями оставшихся уравнений подсистемы (21.21) являются
h^^-gjV^o, (21.23)
что совпадает с выражениями (21.18), если, отбросив лоренцев индекс, положить /?/°) =A^ = Tm,. Таким образом, набор (21.19) позволяет найти при произвольно заданном ^plv (но g*o0 Ф 0) 4-й столбец матрицы Ламе:
V0) = — gjV^^o - (21.24)
Воспользуемся компонентами (21.19) и (21.24) для перехода в тетрадном представлении ОТО к некоторым величинам и соотношениям, приведенным в предыдущем пункте и имеющимся в курсе [23], где они вводятся для физической интерпретации ОТО без явного обращения к тетрадной формулировке.
Подставим (21.24) в соотношение (13.4) (или в первое из выражений (14.12)):
dx(0) = Zljut(O)d^ix = _ gllodx4VIirg^o = cdx• (21-25)
Это выражение для физической компоненты элемента време-
230.ни совпадает с элементарным х.и. промежутком времени (21.11). В ортогональной системе координат
d*< о) = A0(O)^o =
что совпадает с элементом «истинного времени» (уравнение (84.1) в [23, с. 229]). Подставим теперь компоненты (21.4) в (16.4) и во второе из соотношений (14.12), соответственно получим выражения: хронометрически ковариантное * *
Ya? = ga? = ga? — goago?/goo > Yoo = goo = 0 (21.26) и хронометрически инвариантное (скалярное)
dl2 = ^abdxadxb = y<rtdxadxfi . (21.27)
Эти два уравнения с точностью до обозначений совпадают соответственно с выражениями (21.9) и (21.10), а также с соотношениями (84.6) и (84.7) из курса [23, с. 301], в котором они получены локальной посылкой — приемом световых сигналов. Эта возможность, естественно, содержится в общих локальных выражениях ОТО, отнесенных к псевдодекартовым квазикоординатам (13.4), из которых получены уравнения (16.4) и (14.12).
Подставив условия (21.19) в элемент времени десинхронизации (14.12), получим для него выражение
dx\ec = - haV»dx«/h0V» = - ga0^a/goo . (21.28)
Обозначив ga = — gao/goo» приходим к соотношению (84.14) из курса [23, с. 302]. При других калибровочных условиях dx?Aec будет иной функцией от ^liv. При A06(O) = O, очевидно, dx°дес=0-Вероятно, именно в этом смысле можно понимать утверждение, что «... невозможность синхронизации всех часов является свойством именно произвольной системы отсчета, а не пространства— времени как такового» [23, с. 303].
Обозначая dx(без штриха) собственное время наблюдателя, не движущегося с частицей, и учитывая, что в системе частицы dxa'=0, имеем
dxS °) = L<0>(o,'d*<°>'+ L\.d&'=U*\byaxS*V, (21.29) откуда ___
dxW=ds = V l — pdxW =Vl- ?2V0)^ =
= VT=PfaWdjfi+ haWdxa) =
= Vi — ?2 Ao<°> (dx*+HaWdjPJh0W). (21.30)
Подставляя сюда компоненты (21.4) и используя принятое обозначение для отношения тетрад, находим
231.dxW—ds =Vl — p» V-goo(dx»- gadx% (21.31)
что совпадает с квадратным корнем из выражения (88.13) [23, с. 321], если принять обозначение goo=/i (см. там же уравнение (88.11)). Согласно (21.31), для х.и. скорости имеем
xfi = d^ = dx*-, (21.32)
dxi0) V-goo(dx»-gadx«)
что совпадает с уравнением (88.10) курса [23, с. 321]. Если же ввести скорость частицы по ее собственному времени, то
о= dx° — dx° _ h°kdxk _ h°(Q)dxi0) . U ~ dxW ~ ds ~ dxt°y ~ dxW
tfijtfdxv = ZiQ(Q) hWdx*
dxW Vi— ?2 dx(°)V 1—?2
Из условий (21.20) и (21.19) вытекает, что
A14(O)Voj= А°(0)Ао(0) = 1, A0(O) = 1 /fh«» = l/y-goo. (21.34) Следовательно,