Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
А. Л. Зельманов [619] вновь возвращается к рассмотрению пространственных сечений я0=const и к его метрике (21.55), строя теорию кинеметрических инвариантов (к. и.) в ОТО и тем самым еще одну специальную формулировку ОТО, выделяющую подгруппу преобразований координат, не совпадающую с подгруппой x. и. Отмечается, что при рассмотрении некоторых вопросов в отличие от теории x. и. существен фиксированный выбор пространственных сечений, тогда как выбор линий времени остается произвольным. Выделение подгруппы ведет к ее инвариантам: «Если выбор пространственных сечений фиксирован, допустимы лишь преобразования X0 = X0(X0)f Р°'г = 0, х{=х{(х°, х\х2,хг). В этом случае математически удобны величины, преобразующиеся по формулам, не содержащим коэффициентов PV0 или их производных (будем говорить: кинеметрически-инвариант-240 ные, к. и.) и ковариантные по отношению к преобразованиям Xі = Xi (x°f X19 X29 X3), в которых X0 рассматривается как параметр (греческие индексы —0, 1, 2, 3, латинские—1, 2, 3)» [619]. Там же дается построение специальной кинеметрически-ин-вариантной формулировки ОТО и ее аппарата.
В работах [620, 621] этот метод Зельманова связывается с дираковским подходом к гамильтонову формализму ОТО, в частности с его выражением (21.59) для хроно-монады. Поскольку в теориях x. и. и к. и. выражения (21.18) и (21.58) сходны по своей конструкции, это стимулирует к введению подобных выражений для всех векторов лоренцева репера, что и было сделано Ю. С. Владимировым [563] («класс групповых калибровок») [620] (дальнейшие публикации на эту тему и с ней связанные см. в работах [621, 622, 623]).
Аналогично п. 21.4 рассмотрим подход к аппарату к. и. исходя из тетрадного представления ОТО. Вместо калибровочных условий (21.19) и (21.20) примем неполный набор
Аа<°> = 0, а = 1, 2, 3, или A0a = 0. (21.68)
Тогда вместо формул (21.21)-(21.28) получим следующие соотношения (см. также (17.37) и (17.41)):
^0 = h %Ао<о)( A0(O) = /1а(о) = -?а°/ V^,
dx<o> = AJQdx* = homx° = dx0/ V*—g00 у Ао(0) = 1/А°<0>, - - Ya? = h\h\rfb = j* _ Aa(0)A?(0)T1(0)(0) =
= ga?- /VV0,
^dxa = dxa = h\dxa = dxa — h«(0)dx(°) =
rj-Oa
= dxa — Aa(0)A = dxa—-?— dx\ V g00
dxa = haa(^dxa)
—символ, используемый в аппарате к. и. вместо символа* в аппарате х. и.),
dl2 = r\abdxadxь = r\abha%b Cdxa) Cdxf) =
= KfdX^dX*, ha^r\abdxadxb = -Aa(®>V0)4(0)(0) = ga?,
dx Vc = - — dxa = 0. Ao(0)
Исходя из выражения (21.36), при калибровочном условии (21.68) легко найти аналогичные соотношения, но вмесго уравнения (21.39) получаем
16. Зак. 3 241 (V-g)?Lo = Vh / V-800, Vh - WM
Вместо (21.53) легко находим
== o(o)» А%>а, + ha(0)da = V4Tdo - ga0/ Vr=rF0 да.
at
Второй член отсутствует только, если дополнительно принято /ta(0) = 0 (дополнительное условие нормальности). Поскольку
_ _ h\dxa _ a dxW _
v - dx ~ dx ~ dx
eTr a Oa Oa
= J^+ -S—, (^a . = JL
, + (v )dx* ="7=. — n (0),
dx y-goo —0 ^gOO
TO
Л =AV11 = dt d*(o> (0) 11
^d d = A°( 0)o0 + Aa(0)da =-Jf + h*(o)da = — oada.
Использованием калибровки A0a = 0 нетрудно получить из тетрадного представления ОТО и другие соотношения теории ки-неметрических инвариантов. Основные из них, требующие введения связности, рассмотрим в следующем пункте.
В теории к. и., так же как и в теории х. и., вводятся трехмерные коэффициенты связности в виде символов Кристоффеля, но построенных из кинеметрически-ковариантного метрического тензора и к. и. частных производных. Так, из уравнения (15.17) при условии (21.68) легко находим
= + AVvV =
- Y Уа6 {д^Убу + — doj/?v), a, ?, Y= 1, 2, 3,
где jfa? — компоненты метрического тензора (21.55), а
-03 _ д, = А3Ч = (A?4)/l?(o)=,0 =
21.7. Основные уравнения ОТО в х. и. и в к. и. формах и два частных случая R-инвариантных уравнений ОТО. Приведенные в п. 20.4 и 20.6 алгебраические соотношения и введение символов Кристоффеля относительно метрических тензоров (21.26) и (21.55), позволившее развить дифференциаль-
242. ную часть аппарата, завершились соответственно в работах [602] и [619] представлением основных уравнений ОТО в хронометрически и кинеметрически ковариантном виде. Согласно A. JI. Зельманову [602], для изотропной геодезической линии (при сохранении обозначений [602]) имеем
1 ^ + I Dijaiaj--1 р,аі = Q9 ^ и k=l,2, 3,
со cdx с с2
(21.69)
— A^LL + HkipI0J + L (?>*. + Afi а1---F* = 0,
со cdx с с2
со —X. и. циклическая частота, а? = dxi/cdx, kl = соа1'— волновой вектор. Для неизотропной геодезической
dE/dx + mDijvbi OiFiVc =
(21.70)
dphIdx + A kUPiVl + 2т (Dki + Atk) Vі — mFk = Ik9 pi — x. и. импульс, Ik;—[х. и. негравитационная сила, E C2P0IVgipi = PiC = mvh Pll = ModxvJds. Для законов сохранения:
+Dp+IduuI1 + dt с2
*дук
(21.71)
dt +DJ"+ 2 (Dki + Atk) Ji + ^vi _J и» J-pFk = 0, TJVg^ = Р, cTQVg^o =Ji-
Наконец, для уравнений тяготения Эйнштейна:
*dD
+ D}lD4 + AjlA1I + *VjFl--L FjFi =+ и),
dt ' " С2-'- 2
(21.72)
*Vj- (WD — W — Щ + — FjAH = KJi,
