Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
COi2 = -Zi1VYiab = Y1. (21.50)
При условии (21.19) имеем
Ы2 - googn = (Zi0(0))2 (Zii(o))2 - (Zio(0))2 [(/Ч<0))2 +
+Zi1flAla] = (А0(°))2 (-A1flA1^ab) = К)2 (со,)2, (21.51)
что совпадает со вторым из соотношений (21.15). Следовательно, CO0 и сої при подходе к ним из тетрадного представления ОТО являются обозначениями
CO0 E= A0(O), Co1 = KvTi = Vr-Zi1flAla .
Очевидно, совокупность величин COv не есть вектор, что и отмечено в работе [606]. Лишь после игнорирования лоренце-выми индексами может оказаться целесообразным объединение CO0 И COi В одну величину COv.
235.Наконец, перейдем к х. н. операторам частного дифференцирования (21.13) исходя из ^-инвариантных операторов, рассмотренных в п. 20.2, записав их при наборе калибровок (21.19). Из выражений (20.12), (20.14) при этом наборе получаем соответственно
O(0) = /1%^ = /1%)O0, (21.52)
І = ^ll - V0)^V(o)<5v = d?- у 0)ft°<0)o0. (21.53)
Подставляя сюда компоненты (21.24) и учитывая соотношения (21.34), находим
Э(о)= лГ-_д0, да = да—M^d09 д0 = 0, (21.54)
У —goo goo
что с точностью до выбора алфавита для индексов и сигнатуры совпадает с производными (21.13). Из сравнения элемента (21.11), в котором а=0, 1, 2, 3, с элементом (21.25), в котором |л — 0, 1, 2, 3, ясно, что
(21.54а)
dx dx( о) dt
Аналогичным образом, используя калибровку (21.19), нетрудно получить из тетрадного представления ОТО и другие соотношения теории хронометрических инвариантов.
В этой теории вводятся трехмерные коэффициенты связности в виде символов Кристоффеля, построенных из хроно-метрически-ковариантного метрического тензора с участием х.и. производных. Используя выражение (15.17) при условии (21.19), но допуская к преобразованию только трехмерные компоненты коэффициентов вращения Риччи и трехмерное суммирование, легко находим
= AWvYbc+ ftVvV =
= Y gao (d?gov + oV?A ~d\gfiy)> a, ?, V = 1, 2, 3.
Исходя из тетрадного представления ОТО, легко прийти и к тензорам _вида [600, с. 140] XiI = — R0iOlZgoo* Yi? = = -RoiikIVgoo (здесь /, /, k=l, 2, 3), вводимым в теории X. и. и интенсивно используемым для исследования в ОТО гравитационно-инерционных волн. Взяв комбинированные локально-мировые компоненты тензора Римана — Кристоффеля в случае калибровки тетрад (21.19), находим i?(0Mo)? = ft^(o)ftV(o)^a<yP = = (ft°(o))2floao? = — RoVZg00. Аналогично получаем i?(o)a0v = = ft°(0)#oa?v- Пока исследования ведутся в некоторой одной системе отсчета, индексы (0) рационально отбросить.
236.21.5. Комментарии к терминологии. Наконец, во избежание недоразумений (см. замечание в конце п. 13.5) остановимся на терминологии. В работе [567] термин «физические компоненты» употребляется в ином смысле, чем в нерелятивистской физике и тетрадной формулировке ОТО, хотя ставится тот же вопрос, который решается в теории Ламе и тетрадном представлении: «... Как из теоретических величин <ми-ровых компонент>, данных в их координатах (нефизических компонентах), построить физические наблюдаемые (физические компоненты)?» (с. 68). Ответ на него состоит из двух частей. Во-первых, «...проектируя 4-мерные тензорные величины <мировые компоненты> на направление = ^0)>, можно найти физические временные компоненты этих величин, например интервал физического времени... dt = — г^dXix» [567, с. 69] <=hWdx»=dxP)>. Именно так и определяются физические хроно-компоненты в тетрадном представлении, где индекс (0) подчеркивает, что они получены в результате отнесения К лоренцеву единичному вектору Є(0). Это придает им метрологический смысл [464] и полное соответствие с эйнштейновым определением измеряемых величин. Во-вторых, после введения метрического тензора (21.26) в работе [567, с. 69] говорится: «...Любой 4-вектор A11 можно разложить на физические временную и пространственную' компоненты
a* = и Ciix = < =A\V > .
В обозначениях, принятых в данной монографии, эти соотношения имеют вид
я* = AJifkiо) = А(о)> = А\%а = IiiiaAa = Avi.
Таким образом, «физическими компонентами вектора» в теории Ламе и в тетрадной формулировке ОТО называются величины Aat тогда как в работе [567]—величины а^ =
= HjAa- Чтобы не получилось путаницы, в данной моногра-
*
фии в п. 14.2 для величин типа HllaAa =?=AvoV[1 использован термин «специальные мировые компоненты». В соответствии с тетрадной формулировкой ОТО в работе [567, с. 70] отмечено, что «...расщепленные на временную и пространственную части величины преобразуются при переходах между любыми системами отсчета... с помощью локального преобразовав
*
ния Лоренца». Действительно, а*=Л(0)— Я-скаляр, a? — = b[xyAv — R-инвариант, но они не являются ?(Х)-инвариан-тами. Эйнштейн также подчеркивал, что «...кроме инвариантов и тензоров геометрии Римана, появляются новые инвари-
237.анты и тензоры» (см. п. 13.8). Эти величины являются новыми, поскольку их свойства определены относительно новой (другой) группы преобразований — локальной группы Лоренца. Для мировых инвариантов, связанных с (3+1)-расщеплением [567, с. 68], употребляется название «нетривиальные скаляры». Этот термин предполагает фиксированность системы отсчета, позволяющую для простоты отбросить индекс (0) и