Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ao(0)V0) + h\hab = 6°а = 0,
(21.35)
h\Kb = - V0)A°(0, = - V0W0) = >
т. е. при калибровке (21.19) выражение (21.33) совпадает с выражениями (57) и (88.14) [23, с. 322] и уравнением (57) [56, с. 138] соответственно.
Таким образом, указанные соотношения из книг [23, 56], где они получены на основе локальной посылки — приема световых сигналов, могут быть выведены в рамках тетрадного представления ОТО при неполном наборе калибровочных условий (21.24). Для полного совпадения требуется еще отбросить в соответствующих выражениях тетрадного представления лоренцев индекс (0) и ввести некоторые обозначения, например ga9 h=y—goo и др. Отбрасывание индекса упрощает запись, и поэтому вполне уместно, если решено остановиться на данном выборе координатной системы. С переходом к новой системе можно или (если (0) отброшен) составлять заново все выражения в новой системе, или производить преобразования, но не только координатные, но и L (х). В последнем случае требуется восстановить все отброшенные лоренцевы индексы.
Специальные мировые компоненты применительно к теории x. и., т. е. к неполному набору калибровок А®0)=о, введены в работе [25, § 9.16]. Приведем в соответствие терминоло-
232. гию и некоторые из соотношений этого параграфа из книги Мёллера с общими соотношениями тетрадного представления ОТО. Примем, что не любые латинские, как в курсе [25], а только греческие индексы второй половины алфавита пробегают значения 0, 1,2, 3. При этой договоренности, очевидно (см. уравнение (9.286) из книги [25]), имеем ГцS=Aia(Q)= =?цо/У—goo- Ясно, что «калибровочно-инвариантная величина», определяемая в {25, уравнение (9.289)] как [А]=А*Тц, является нулевой компонентой в лоренцевых индексах
IA] = AilTvl = A0T* = A0ZV=J00 = (Aw)h* (0)=0 =
= (AyJi^i о ))h<x (о)=о *
Ограниченные же тензоры являются частным случаем специальных мировых компонент
^ = Л" + (AvTv) Г* = А" + Sfi0A0 (Г0)2 _ (A<*V (O)==O =
= (h\A\a (0)=0 = A" + A^(O)A0(O)A0; (A%)Aa (0)e0 s о,.
Ограниченный вектор, как отмечено [25, уравнение (9.291)], ортогонален Tix:
A11aT11 = АХ(о) = ^aAaHll(O) = Ла(о)Аа = 0,
(21.35а)
(AlTll)hCC (0)=0 = A^(O) = A0A0(O) = 0
(см. условие ортометричности и ортометрические тензоры да лее в § 22).
Наряду с ограниченными 4-тензорами вводятся [25] «стандартные 4-тензоры». Так, например, для стандартного вектора имеем-
Aa = (Al, — [A]) = (Aa = AaaAfl, А(°>),
Aa = (AL [А]) = (Aa = ZiaflAa, А(0)).
С точки зрения тетрадного представления ОТО объединение ^-скаляров и ^-инвариантов неестественно. В /?-ковариант-ной формулировке оно более уместно.
Вернемся к п. 13.10 и продолжим рассмотрение связи между физическим и координатным элементами объемов. Рассмотрим эту связь применительно к набору калибровок (21.24). Согласно (13.42),
dV = h^mh^rh0%mnrSdx4xvdx%dxay (21.36)
233. причем, проводя альтернирование, можно убедиться, что
= VVVV = V- det Stlv = V~g. (21.37) В частности, при условии (21.24)
WW] = WW3= h0mL a%%ei =
= V^jfa hia%bhvf = і /~g. (21.38)
В то же время
(det ?e?)fc,«„o = det Vap = у = det ha%biIa6 =
=det Tiab det haa det V = (det ha°f = (VW)2-Следовательно,
(V^g)fl-=O = V=^Kv, (21.39)
что соответствует уравнению (84.9) из работы [23, с. 288]
0Wa)c=0 = V^goo Vv Ws. (21.40)
Можно ввести смешанные компоненты, содержащие пространственные мировые индексы и локальный лоренцев. При условии (21.24)
IW = h0k4afiyk = A0<°>T]aM0). (21.41)
Решив ограничиться избранной (произвольно) системой координат, можем для упрощения записи отбросить лоренцев индекс (0). Тогда
ЛаМо) = Лаізто/К—goo = Vy Sabc(O) = Tla?v = Vy eabc, (21-42)
что совпадает с первым из уравнений в примечании, данном в курсе [23, с. 323].
Используя частное определение (21.41) для дуальных компонент бивектора электромагнитного поля, в силу условия (21.24) имеем
dE0ol = ± чо^Е» = -1 тUy0E^ = - і А0(о)r,a?Y(0)^ .
(21.43)
Принимая указанное условие и отбрасывая при фиксированной системе координат индексы 0 и (0), находим
0E(O)y = Hy = — -i Tivaf3Eap = — -І /у BcabEap =
= I ^(o)va??a?, (21.44)
234. где для численных значений индексов принято IyI = |с|, |а| = \а\> |?| = \b\. Аналогично в силу соотношений (21.24)
%». = ^(O)0Eixa = Zi0(O) dE0CL =
= - )??V = ~Vy *аъ*Е*\ (21.45)
т. е., как в курсе [23, с. 329],
Hy = — Vy eYC6?#a?, Hy = dE(o)y.
Остановимся еще на получении соотношений (21.15) — (21.17) из уравнений тетрадного представления ОТО. Для краткости ограничимся простейшими из них. Из системы (13.5) и условий (21.19) вытекает
- goo = (Zi0(0))2, gn = - (Zii«»)2 + Zi1flZi1Vb- (21.46)
Сравнивая первые из выражений в соотношениях (21.46),
(21.15), а также сравнивая (21.24) со вторым из соотношений
(21.16), видим, что при условии (21.19) с учетом различий в выборе сигнатуры
Zio(0)=co0, (21.47)
Zi1W =Q1. (21.48)
Из уравнений (21.46) видно, что
(A1(O))2 какьЦаь _ Вііл (21.49)
Учитывая различие в выборе сигнатуры, приходим к первому из соотношений (21.17), положив
