Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
(эф. 45) r>6m. (7.5)
Поэтому даже незначительное изменение значения радиальной координаты для орбит в интервале от 3т до 6т может привести либо к уходу тела с круговой орбиты на пространственную бесконечность (или орбиту большего радиуса), либо к его падению на гравитирующий центр. Указанные ограничения на радиусы круговых орбит в поле (1.4) отсутствуют в ньютоновой теории гравитации. Систематическое исследование таких ограничений, по-видимому, впервые предпринято в работах [330] и [331]. Подробное изучение устойчивости движения в поле Шварцшильда проводилось рядом авторов [327, 332— 334]. Эффекты (7.4), (7.5) имеют место лишь для гравитиру-ющих объектов, размеры которых меньше 6т.
7.2. Ограничения на углы вылета светового луча в поле Шварцшильда. Предположим, что из некоторой точки в поле
72 гравитирующего центра испускается световой луч. Как следует из системы первых интегралов для плоской изотропной геодезической линии, мировые компоненты линейной скорости распространения равны
-('-tV'-^'-T"
d(p =—(\ — . (7.6)
dx<°> г V г
Отношение этих величин определяет тангенс угла ср между лучом и направлением радиус-вектора, проходящего через точку испускания света относительно далекого наблюдения:
. V3 /г2 2т\-1/2 /77Ч
tg?= — = Ht -1+ — • (7-7)
Vі \ b2 г J
Перейдем к «физическим» компонентам скорости (см., например, работы i[19, 24] и далее гл. III, § 12, гл. IV, п. 13.5):
1><*> =Vr = Vl Vgaf—gm у(3) = Vqt = V3 Vgssf—goo-Тогда вместо (7.7) получаем соотношение
V ( 2 mW2 (эф. 46) (Igcp)m = A.= 1-—) X
Vr \ Г } / г2 2т\—1/2
X^--I-+ (7.8)
для угла ф с точки зрения наблюдателя, находящегося в точке с координатой г. Требование положительной определенности подкоренных выражений удовлетворяется лишь при определенных значениях г/6. Испущенный вблизи гравитирующей массы свет лишь в некотором ограниченном конусе с раствором 2ф может уйти на бесконечность. Для других значений этого угла орбита будет «навиваться» на центральную массу или же свет будет ею захвачен (см. эффект 55). В этом смысле присутствие гравитирующей массы, согласно ОТО, ограничивает возможные значения угла вылета фотона по отношению к направлению радиус-вектора г.
7.3. Разделение по радиусу круговых орбит антипараллельных спинов в поле Шварцшильда. Для кругового движения пробного спина, ориентированного ортогонально плоскости движения, для которой 0=я/2, из первых интегралов уравнений Папапетру (1.3) в поле Шварцшильда следует, что 8(г) определяется квадратным уравнением [335], коэффициенты
73 которого зависят от т, радиуса орбиты и величины пробного спина. Поскольку спин входит в это уравнение в виде линейных комбинаций, выражения для 8 (г) и h(r) будут включать и линейную зависимость от S, т. е. ограничения на радиусы круговых орбит будут зависеть от ориентации вектора пробного спина. Эту ориентацию удобно определить относительно направления вектора орбитального углового момента (постоянная площадей h является его проекцией на нормаль к плоскости орбиты). Поэтому в данном случае эффекты ограничений
(эффект 47) удобно представить графической зависимостью г от А [335] (рис. 1), построенной на основе численных решений. Из рис. 1 видно, что при ориентации пробного спина в положительном направлении вектора орбитального углового момента (т. е. для прямого движения) орбиты расположены «глубже», чем для антипараллельного спина (что эквивалентно обратному движению при неизменной ориентации пробного спина). Этот эффект разделения по радиусу устойчивых круговых орбит антипараллельных (или параллельных, но находящихся в прямом и обратном движениях) спинов является следствием спинорбитального взаимодействия. Для его выявления требуется высокочувствительная аппаратура, которая, например, могла бы зарегистрировать смещения гироскопов внутри спутника.
7.4. Уменьшение радиусов круговых орбит в поле гравити-рующего заряда. Для круговых орбит в поле Нордстрема — Рейсснера из (3.8) следуют выражения для є и А:
и л/-й( 1 3^ ,
h = у mr — k\ 1---1--
V г г* )
В отличие от поля Шварцшильда в данном случае анализ h(r) приводит к дополнительным ограничениям по сравнению со следующими из г(г). Из (7.1) находим
г2 — 3mr+2?>0, mr —О,
причем второе условие требует, чтобы_
Рис. 1
74 Отсюда видно, что при любом значении параметра k гравити-рующий заряд уменьшает нижнюю границу области существования круговых орбит незаряженных пробных тел (см. [327, 336, 337]). Критерий устойчивости приводит к уравнению
г3 — 6 mra + 9kr — 4 kVm > О,
которое в свою очередь в предположении k<^m2 дает
(эф. 48) r>6mf 1--—) . (7.10)
V 4 т% )
Арменти [327] приведены соответствующие графики, позволяющие сравнить ограничения в полях (1.4) и (1.6). С более общих позиций вопрос рассмотрен в работе [338].
7.5. Ограничения на углы вылета светового луча в поле Нордстрема — Рейсснера. В релятивистской астрофизике интересен вопрос о получении электромагнитного сигнала внешним наблюдателем, а также наблюдателем вблизи черной дыры »[339, 340, 341]. По аналогии с п. 7.2 нетрудно установить, что в поле с метрикой (1.6) вместо (7.8) имеем
