Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
>2 = р(1 + ecosfc)"1, Ь = -TT--— (—--1
2 е \ г2
Тогда для разности времени движения по траектории «туда» или «обратно», рассчитанных с учетом искривления траектории в гравитационном поле и без его учета:
JL
Ax0== j' (gоз + tgo3 + googaal2 } gos+ gngoo d\j)
* {ёоз + Iffg8 + ?ооЫ 2 goo — gosgoo} V 1+D
-(Ax0)m=O. (5.9)
Здесь член (Ax0)m=o — время распространения по прямой линии (в отсутствие поля тяготения). Предполагается, что все параметры орбиты сигнала выражены через параметры источника поля тяготения и г0.
5.1. Эффекты задержки пробных тел в поле Шварцшильда. Решения уравнений плоского движения пробных тел в поле Шварцшильда можно записать в виде
dr _ А а d(p __ h dr _ r2A g щ
dx? а38 ' dx° еа 2r2 dcp ah
55 -(.-^L)-". Л.-^ -f.. ?.1.,
Подставляя выражения (5.10) в уравнение (5.4), имеем (эф. 32) Длдес = |(^0дес)^>о - --=
В[(Л lUjW^i^l-j
}{ h eh J [ h2 h2 r2 v
Обратим внимание, что различие в знаках двух членов подынтегрального выражения (5.12) в принципе говорит о возможности случаев как задержки, так и опережения. Сборный эффект 32 конкретизируется лишь после выбора определенных значений є и h. Иллюстрируем его примерами.
Пусть неизотропным сигналом является пробная частица, равномерно вращающаяся в поле Шварцшильда по окружности радиуса г. Тогда_
(/i)e=o « V^r(I + 3m/r), (8)tf=o « 1— m/2r. (5.13)
Подставляя эти выражения в (5.12) и переходя к интегрированию по г|) в пределах (0, 2я), находим
(Эф. 32а) (-^as- ) = Vrni = ?* « 1 ¦• (5.14)
\ ^ /т,е—0 T
Для оценки найденного времени десинхронизации приведем его отношение ко времени движения частицы, равному кепле-рову периоду:
А*°дес _ Vm т
—2ІГ" / Го ~ "!ЛІГ = ~ =Р- (5Л5)
Это отношение — порядка малости, типичного для основных поправок ОТО в поле Шварцшильда.
Приведем теперь результаты подсчетов Г. Э. Сусурина [39] времени десинхронизации при квазигиперболическом движении с небольшим эксцентриситетом:
(те2/г о)2 « 1, ?4 = u4/c4« 1. (5.16)
Тогда, согласно работе [39], где используется (5.4) (в иных обозначениях), имеем
(эф. 32b) (AAec)m =- f J^L = , (5.17)
J U0 Ye2- 1
о г
Ф = arth V(e— \)/(е + 1) tg Ф — эксцентрическая аномалия. 56 Квазигиперболические орбиты с большим эксцентриситетом (ультрарелятивистские) таковы, что
1/е2«Ь ?4« 1—2 m/r0. (5.18)
В частности, если е = , то, согласно [39],
т
г
Д*°дес =- f jf^ = + (А^°дес)т> (5.19)
J "о
Г о
где
(Эф. 320 +
+ 2[P(r)-P(r0)]J, (5.20)
Таким образом, при умеренно релятивистских скоростях (эффект 32 а и эффект 32 Ь) весь промежуток времени де-синхронизации обусловлен ОТО. В случае же ультрарелятивистских скоростей время десинхронизации состоит из двух частей. Первый член в (5.19) принадлежит СТО, второй — задержка во времени, предсказываемая ОТО. (О связи в общем виде между временем движения и временем десинхронизации см. в конце п. 14.13.)
5.2. Эффект Шапиро в поле Шварцшильда. В предельном случае общего выражения (5.7) находим время десинхронизации, содержащее задержку изотропного сигнала — эффект Шапиро:
(aaec)^0=i f-'w (5-21)
В таком виде оно рассматривается в статье [46]. В данном обзоре предпочтем более стандартное рассмотрение на основе (5.5) — (5.9). Пусть электромагнитный сигнал распространяется в поле Шварцшильда между точками (гь \|)i) и (г2, г|э2). Его траектория будет описываться дифференциальным уравнением (du/сіц))2 = Pm(U)j где Рт(и) зададим в соответствии с (3.3). Решение системы алгебраических уравнений для отыскания р и е с необходимой точностью и замена Ъ на г0 дают:
r\ I 2M 4т2 \ г0 / т 4т2 \ p = -jmh----' e = -±li+---- ,
т \ г о го / т\ г о 'о /
57 b = - r° . (5.22)
Z1-^l
С учетом (1.4) уравнение (4.2) принимает вид
(ах») = h |/гж (1- *l )-' _
J rO V r0 V Г У Kl+D
-(Ax0)m=O , (5.23)
где D определяется из (3.5). Приближенное интегрирование этого соотношения дает в линейном по т приближении
п ( і і \
+ 2m{l- f)+ln^}-(A,o)m=0. (5.24)
Поскольку первые два члена и (Ax0)m=O не зависят от т, то
(эф. 33) (Ax0)m = 2т + 2т In -mr0 (— + — ) , (5.25)
rO \п r2 J
Следовательно, согласно ОТО, световой луч и радиосигнал задерживаются полем Шварцшильда. В результате возвращение отраженных лучей (сигналов) запаздывает. Эффект 33 был предсказан Шапиро в 1964 г. [288]. Одновременно и независимо от него к подобному выводу пришли и авторы [289]. Если в качестве отражателя радарного сигнала использовать Меркурий и предположить, что по пути луч почти касается поверхности Солнца (т. е. /o«/?q), то с учетом лишь первых двух членов из (5.21) находим
(Ax0)w - 4m Jl + ln^Tp J « 240 mKC (72 км) (5.26)
для запаздывания при движении «туда» и «обратно». Несмотря на огромные трудности, связанные с учетом различных побочных факторов
и расчета (Ax0)т—о в отсутствие гравитационного поля, уже первые опыты подтвердили эффект Шапиро с точностью порядка 20% [290], а позже—до 10% [291]. Новые возможности для повышения точности измерения появились после предложения использовать космические аппараты в качестве активных отражателей радарных сигналов. В экспериментах со станциями «Маринер-6 и -7» эффект Шапиро был
