Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
(эф. 49) tg<p=f 1-^+4-У/2х
Xl fr"' (7.1.)
В этом случае величина <р зависит уже не только от связи параметров орбиты с параметрами источника, но и от отношения kfm.
7.6. Влияние космологического члена на радиусы круговых орбит. Специфика решения (1.7) обусловливает интересную в качественном отношении зависимость радиусов устойчивых круговых орбит от параметров поля, впервые исследованную в работе [336]. Для круговых орбит в поле Коттлера де Ситтера из (3.19) следуют точные выражения:
»-('-f-f-k'-fp '-/-m1-t p-
После учета критерия существования орбит получаем ограничения
r>3m, г<(Зт/Лу/3,
75 критерий же устойчивости приводит к уравнению
Если ограничиться случаем 9т2Л<1, то из анализа приближенного решения этого уравнения следует, что, начиная с
круговые орбиты устойчивы (здесь а — постоянная, зависящая от Л и т). В интервале (3т, rG) устойчивых орбит нет. Как было показано [336], существует и верхняя граница устойчивости. Поэтому в поле (1.7) круговые орбиты устойчивы лишь в определенном поясе. При некоторых критических значениях отношения Ли т может не оказаться ни одной устойчивой орбиты.
7.7. Разделение в поле Керра круговых орбит бесспиновых пробных тел в зависимости от направления движения. Вопрос о существовании и устойчивости круговых орбит бесспиновых частиц при экваториальном движении в поле Керра впервые исследован Руффини и Уилером [12, с. 45] (см. также [295]) и независимо от них А. П. Рябушко [342]. Уравнение для отыскания соответствующей функции є (г) имеет вид
[г3 + а2 (г + 2tri)] г2 — Ааткг + [(2m — г) /і2 —
— г2 (г — 2т) — а2г] - 0.
Его решения, как легко установить, зависят от направления вращения гравитирующей массы, а следовательно, и от направления движения пробного тела по круговой орбите. Эффект 51 этой зависимости представлен на рис. 2 [12,295]. Из него видно, что орбиты тел, находящиеся в прямом движении по отношению к направлению вращения центральной массы, имеют меньший радиус по сравнению с телами, движущимися навстречу вращению массы т. Согласно оценкам [12,295], в эк-
(эф. 50)
г Q = — т + 4т Vp cos
я -J- а
(7.12)
_г
/77
20
10
h
-2)/3
0
2V5
/77
Рис. 2
76 стремальном поле Керра (а = т) в первом случае орбиты могут быть устойчивыми вплоть до г+=т, а при обратном движении— лишь до г_=9т. Таким образом, пробные тела, имеющие противоположные направления движения по орбите, разделяются по радиусу (если значения є и h для них одинаковы). Ограничения на неэкваториальные траектории рассмотрены в работах [343, 344].
7.8. Ограничение круговых орбит в поле Керра по углу наклонения. Поскольку поле вращающейся массы обладает аксиальной симметрией, интересно исследовать поведение «эффективного 6-потенциала», который характеризует распределение орбит по углу 8 (или, что эквивалентно, по углу і наклонения плоскости орбиты по отношению к экватору). Как было показано [328, 345], такой потенциал є (6) следует из уравнения
B = К — (А — аг)2 = cos2 0 [а2 (1 — є2) + K2 sin"2 0],
где К — постоянная, характеризующая полный орбитальный момент. Отсюда вытекает зависимость угла 0 от параметров поля и орбиты:
(эф. 52)
sin2 01)2 =
1
1
B + h2
X 1±
1 +
а2( 1-е2) 4А2 ?2(l — е2) [я»(1—еа)—Ш+А2)Р
X
1/2
(7.13)
Следовательно, неэкваториальная орбита может быть наклонена к экватору лишь под определенным углом в зависимости от значений параметров, входящих в (7.13). В частности, для того чтобы орбита проходила через ось вращения центрального тела (0 = 0), необходимо выполнение условия sin0 = = 0. Это возможно лишь при A = 0. Действительно, при A = O из (7.13) получаем
(Sin2O)12- — (1 ± 1) \ 1---- .
V 2 V 'L а2 (1 — є2)
Если В произвольно, то Sin2O2 = sin20_ = 0. Если же B = = а2 (1 — е2), то sin2 O1 = sin2 02 = 0. Вывод о существовании этого эффекта ОТО, по-видимому, впервые сделан [328] для пробных масс, а затем [345] распространен и на случай движения заряженных тел в поле вращающейся и заряженной массы.
7.9. Разделение по радиусу устойчивых круговых орбит пробных спинов в поле Керра. Этот вопрос рассмотрен в работе [335]. Как и следовало ожидать, наличие спин-спинового
77 взаимодействия при движении пробных спинов в поле Keppa приводит к большему разнообразию орбит, чем в случае эффектов 47, 51. Действительно, на рис. 3 видением. [335]) эффект 53 — эффект зависимости радиусов устойчивых орбит от взаимной ориентации Sna.
Рис. 3
7.10. Раздвоение круговых орбит в поле Шварцшильда.
Если продифференцировать (3.7) еще раз по и и применить полученное уравнение к случаю круговых орбит, то нетрудно получить уравнение, определяющее радиусы этих орбит:
Его решение имеет вид
т
г + ЗЛ2 = 0.
(эф. 54)
h2 2т
1 ±
12т2
/і2
(7.14)
Отсюда следует, что при фиксированном значении постоянной h в поле Шварцшильда существуют две круговые орбиты с радиусами г+ и г~<г+, что отмечено в работе [346] (см. также [23, с. 400]). При больших значениях h су четом тJh-^O получаем г_=0 и г+=/і2/2т=гнтт. Рассмотренный эффект можно иллюстрировать и графически (рис. 4). Для г<6/п орбиты становятся неустойчивыми, лишь при г=г+ движение будет устойчивым. С ростом h значения г+ увеличиваются, а г_ уменыпаются. Как следует из (7.14), в поле Шварцшильда возможны лишь те круговые орбиты, для которых значения постоянной h не меньше, чем hmщ=2уЗ т.
