Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Smv = V ev, ^vgvx = V (1-31)
с сигнатурой +2, поскольку в силу локальной справедливости СТО всегда можно найти такое преобразование базисных векторов ец, зависящее от координат, которое приведет (1.31) к виду
hy- (k)hv (n)g'nv = tIotHn) = e(h)'e(n) = diag(l, 1, 1, —1),
(1.32)
еЫ = (fc)V
Имеет место обратное преобразование
= h»(k)hvin%k)(nh
(1.33)
% = Vwftji <»>=**><„>.
Условия (1.32) — (1.33), наложенные на введенную четверку (тетраду) векторов е^), означают их ортонормируемость в смысле псевдоэвклидовой геометрии. Поэтому далее будем тетраду е(ь) называть лоренцевым базисом. С его помощью можно ввести 4-мерные локальные псевдодекартовы координаты:
<&<*> = hV>d& , (1.34)
ds2 = g^jbPdxy = щк)м <МкШпК (1.35)
Следовательно, требование локальной справедливости СТО, допускающее введение E4f позволяет произвести обобщение коэффициентов Ламэ. Псевдодекартова система координат dx&\ введенная в (1.34) с помощью обобщенных коэффи-
21 циентов Ламэ, неголономна. Переходя в V4 из данной точки в точку, бесконечно близкую, двумя разными путями, получаем
ddxW= — QWuydx»dxv ФО. (1.36)
[1 2]
Этот 4-мерный объект неголономности обобщает объект, введенный в п. 1. 2. Допускается, что и четвертая, временная локальная координата может быть неголономной. В этом смысле введенный лоренцев базис e(ft) неголономен.
Соотношения СТО лоренцковарианты. Поэтому требование локальной справедливости СТО в V4 в присутствии поля тяготения также должно выражаться лоренцковариантно. Следовательно, уравнение (1.33) должно допускать возможность лоренцева преобразования ортонормированного базиса:
guv = K(kyKny4ky{ny = LWrLCys Vr)Vs)ri(«'(n)'. (1-37)
ew = L^'(r)ew., Vw' = L(kyMr), (1.38)
т. е. в силу (1.33) и (1.38) приходим к соотношениям (1.8). Поскольку H^ky и № (г)— функции координат, функциями координат являются и коэффициенты лоренцева преобразования
Wm^Y
Таким образом, локальным [24—26], или обобщенным [27—29], лоренцевым преобразованием называются преобразования, зависящие от координат и удовлетворяющие условиям:
Л<ь)(п) = W0 ) ?<n)(s) ) Лыы = inv, L(h)"L«»\r) = L^y (г) Ф ^r, (1.39)
Ч(л)(я) = е(ьге(п) =diag(l, 1, 1, —1),
которые расширяют на зависимость от координат необходимые и достаточные условия, определяющие несобственное, или общее, лоренцево преобразование [30, 31].
Итак, теория относительности не остановилась на введении получившего широкую известность голономного лоренцева преобразования с постоянными коэффициентами Lhfn = =dXh//dXnf применяемого к голономным координатам. Это преобразование испытало обобщение на локальные, более сложные, неголономные псевдодекартовы координатные системы. Произведенное обобщение подчиняется принципу соответствия и содержит преобразование Lhfn = const как предельный случай. Переход к нему требует замены V4 на E4 и криволинейных координат х» голономными псевдодекартовыми, что вдяможно лишь в плоском пространстве E4. Заменим
22 V4 на E4t криволинейные координаты х» на голономные псевдодекартовы Xh, но сохраним локальные неголономные координатные системы (dxW) с осями, произвольно ориенти-. рованными относительно осей системы (Xfe). Тогда имеет место промежуточный, частный случай локального лоренцева преобразования, когда один из его индексов относится к голо-номной, а другой—к неголономной системе координат. Именно такой вариант локального лоренцева преобразования и введен Эйнштейном в динамику СТО. Общий случай локальных лоренцевых преобразований содержится в ОТО, т. е. вводится в искривленном пространстве, Тогда оба индекса принадлежат неголономным системам. Естественно, что собственные лоренцевы преобразования, когда LW\4)> 1, DetL^\n)=l, легче допускают физическую трактовку.
Таким образом, замена неголономного базиса Ламэ лоренцевым неголономным базисом ведет к замене локального преобразования пространственного вращения 6-параметриче-ским локальным лоренцевым преобразованием. Введение в V4r произвольной координатной системы, вообще говоря неортогональной, и требование лоренцковариантного выражения локальной справедливости СТО освобождают неголономный лоренцев репер от условия касания к осям криволинейной координатной системы. Следовательно, замена неголономного базиса Ламэ неголономным лоренцевым базисом сопровождается снятием всех четырех перечисленных ограничений. Переход к четырехмерному неголономному базису и к искривленному пространству наделяет обобщенные коэффициенты Ламэ новыми физическими свойствами, позволяет их рассматривать как характеристики движения и в искривленном пространстве как потенциалы гравитационного поля.
Поскольку компоненты fi^xh — являются проекциями
четырех векторов ем и так как h^k) — 4-вектор относительно преобразований криволинейной системы, за коэффициентами h^k) укрепилось короткое название — тетрада (хотя все 16 компонент Hil(U) могут быть отличны от нуля).
1.5. Б.м. лоренцевы преобразования, вызванные параллель* ным переносом неголономного лоренцева базиса. В 4-мерных локальных псевдодекартовых системах, так же как и в 3-мерных, коэффициенты связности отличны от нуля. Переход к ним осуществляется преобразованием символов Кристоффеля с помощью тетрад:
