Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
6<*> = bb cos (Xbt Xa) = Р/6Y cos (Xbf х*), (1.10)
IaI=M-
15 Как отмечено в [14], «во многих физических вопросах эти проекции векторов на ОСИ (Xа) (т. е. проекции b<а>) имеют определенное физическое значение; поэтому представляется часто более выгодным вводить в рассмотрение именно эти проекции», а не компоненты Ьа. Косинус, входящий в (1.10), определяется с помощью коэффициентов Ha, введенных Ламэ:
cos(X*, x«) = JL ^9 (1.11)
Ha дха
где по определению коэффициенты Ламэ Ha выражаются через коэффициенты преобразования от криволинейной системы координат к глобальной декартовой [15, 16]:
„ defT/ дХ1 Y . / дХ2 у , / OX3 Vl
(1.12)
С точки зрения замены компонент Ьа на Ь(а) декартова система (Xb) играет вспомогательную роль. Коэффициенты Ламэ, обратные Ha, будут
1 Г ( dxW у , / дх& у , ( дх™ Y
(1.13)
где значения а и а совпадают. Тогда в силу (1.11) имеем (сум-мация по а отсутствует)
b(a) =bc_L = VL = h ь*. (і. и)
Ha дх- Ha
Следовательно, согласно первому, способу, коэффициенты Ламэ вводятся с похмощью преобразования Р% = дха/дХь.
Резюмируем в тензорных обозначениях этапы описанной процедуры переопределения компонент. Сначала вводим компоненты Ьа вектора Ь, разлагая его по ортонормированным базисным векторам еа—const глобальной декартовой системы, одинаково ориентированным во всех точках пространства. Далее преобразованием вращения /?а(Ь) переходим к ортонормированным базисным векторам Є(&), направленным по касательным к осям криволинейной системы, т. е. ориентированным по-разному в различных точках. Поэтому преобразование вращения Ra{b) будет локальным, различным в различных точках, и, следовательно, оно будет обобщенным преобразованием трехмерного вращения, зависящим от координат. Разлагаём далее обобщенное преобразование вращения, выделив из него коэффициенты Ламэ. Наконец, выражая
16 компоненты ba через находим искомую связь между Ьа и 6(а). В тензорных обозначениях эта последовательность операций представляется уравнениями:
b = Ьаеа = №»е(ь) = bahfiWPfiaeib) = = P/6Y y»P?fle(b) = Vb^v e(« = 6(*>е<ь)> 0 -:15)
Таким образом, переход от мировых компонент к локальным (физическим) требует введения ортонормированного базиса Є(а) с ориентацией, меняющейся от точки к точке, а также вспомогательного локального преобразования вращения. Можно избежать введения вспомогательного преобразования, если вводить коэффициенты Ламэ другим путем.
Преобразуя метрический тензор вспомогательной декартовой системы к криволинейной ортогональной координатной системе, имеем
PaaP^ab = ?аа- d-16)
Это соотношение также позволяет ввести коэффициенты Ламэ уже непосредственно через метрический тензор. Действительно, из (1.12) и (1.16) находим
Ha = \^=VpTP^u- <1Л7>
Отсюда вытекает, что для получения коэффициентов Ha необязательно пользоваться преобразованиями Pa b = дха IdXb. Действительно, поскольку базисные векторы ев и e(fl) ортонормиро-ваны, т. е.
^(a)(b)e=e(fl).e(b) = /?«(a)^(b)riab = diag(l, 1, l) = inv, (1.18) то наряду с (1.16) имеем три уравнения
ёаа- (1.19)
Учтем принятые выше дополнительные условия:
0, если |а| Ф |(6)|,
(1.20)
= если Iaj = 1(a) |.
Тогда три уравнения (1.19) разрешаются независимо одно от другого и приводят к выражению (1.17) коэффициентов Ламэ через метрический тензор.
Следовательно, в эвклидовом пространстве возможны два способа введения коэффициентов Ламэ: с помощью (1.12) или (1.17). Наличие этих двух возможностей — следствие того, что метрический тензор криволинейной системы может
2. Иваницкая О. С. \j быть в равной мере выражен через метрические тензоры и глобальной и локальной декартовых координатных систем:
= Ра aP^ab = V'V°4fe><d>- (1.21)
Введем дифференциалы локальных декартовых координат
dxM = Ha^dxa --=RbMdXb9 dx = dxMe{a) (1.22)
и выясним, являются ли они полными. Переходя из данной точки в точку, бесконечно близкую, двумя различными путями, получаем
ddxM = d[ahftMdx« dx$ =
= - Q<°>(ь)(сда - -A-. (1.23)
і 2 дха
Коэффициенты fi(fl)(b)(c) называются объектом неголономности [17—20], Й(а)а3 — его локально-глобальные компоненты. Если он равен нулю, то
BXb def
V=-^==P0A ddXb = 0. (1.24)
дХа [12]
»
Тогда дифференциалы координат dXb являются полными, а результат их интегрирования — конечное значение координаты — не зависит от пути интегрирования. В этом случае репер еа является градиентом — эквикоординатные гиперповерхности существуют. Такой базис называется голономным. Если объект неголономии отличен от нуля, то
hM ^ д^хМ, ddxM ф о. (1.25)
Тогда дифференциалы dx№ не являются полными. Иногда их называют дифференциалами квазикоординат [21].
Положив в (1.23) у коэффициентов haa индексы а и а одинаковыми и отбросив для простоты индекс а, находим, что во всяком случае некоторые из компонент объекта неголономности отличны от нуля:
ыа)аб = %ла]«» = oe(J = -1 ад ф о, (1.26)
а ф ?, а — а, &а)ьс = dlcRb}M = Qbc ф 0, Ь ф с, (1.27) поскольку все коэффициенты ha не могут быть постоянными. В этом случае Є(а) хотя и установлен однозначно, но не является градиентом — эквикоординатных гиперповерхностей не существует. Такой базис называют неголономным [20]. Будем называть далее базис е(а) неголономным базисом Ламэ.
