Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
1.3. Различие локальных и глобальных декартовых систем. Преобразование вращения переводит декартовы системы вновь в декартовы. Это в равной мере относится и к глобальным и к локальным декартовым системам. Тем не менее между ними имеются два следующих существенных различия.
Они отличаются коэффициентами связности. В глобальной декартовой системе эти коэффициенты, будучи символами Кристоффеля от постоянного метрического тензора, равны нулю. В локальной декартовой системе коэффициенты связности отличны от нуля. Действительно, воспользовавшись общим законом преобразования коэффициентов связности, находим результат, отличный от нуля:
YtaXWe = Rd(a)Rf (b)^dfc — Rd(a)dcRd(b) = ~ R*(a)dcRd(b) Ф 0,
Tdfc = о, (1.28)
поскольку коэффициенты преобразования Rd{b) зависят от координат. Можно показать, и на этом специально остановимся далее, что величины у(а)(Ь)с антисимметричны по двум первым индексам. Сравнение неголономного базиса Ламэ в двух бесконечно близких точках пространства требует параллельного снесения базисных векторов. Поскольку эти векторы принадлежат локальной системе, естественно параллельный перенос устанавливать при помощи коэффициентов связности (1.28). В силу указанной антисимметрии коэффициентов Y(a)(b)c эт0 приводит к б. м. (бесконечно малому) преобразованию вращения
бе(о) = ®(о)(Ь)Є(Ь) = У(G)Mdxe = У(а)(Ъ)Ла .
(1.29)
Y(A)OOa = ^acY(OXb)C-
Таким образом, с переходом от точки к точке неголономный базис Ламэ вращается, оставаясь всюду ортонормированным.
Второе отличие декартовых локальных координат от глобальных: конечные значения глобальных декартовых координат однозначны, тогда как интегралы от неполных дифференциалов локальных координат dxW зависят от пути интегрирования. При фиксированном пути интегрирование неполных дифференциалов локальных декартовых координат, как в указанном примере Минковского, приводит к определенным конечным величинам. Однако они, вообще говоря, не имеют
2*
19 трансформационных свойств декартовых координат. В этом смысле декартова локальная, неголономная система может быть установлена только в окрестности данной точки. Выход из окрестности интегрированием дифференциалов неголоном-ных декартовых координат сопровождается изменением трансформационных свойств: координаты перестают быть декартовыми.
Неполные дифференциалы физических величин входят в различные разделы физики. Например, из первого начала термодинамики следует, что dQ — количество теплоты, полученное системой,— не есть полный дифференциал. Поэтому если в конфигурационном пространстве термодинамических функций давление, объем и другие величины являются голо-номными координатами, то теплота Q=JdQ — неголономной (квазикоординатной). При этом разыскание конечных значений величин, зависящих от пути, может составить основную задачу теории. В различных разделах физики, в том числе и в теории относительности, координаты задаются как вспомогательные величины. Естественно, что обычно вводятся более простые, голономные координаты. Для замены мировых компонент физических величин локальными компонентами достаточно задания локальных декартовых координат. Встречаются, однако, случаи, когда прибегают к введению конечных неголономных координат. Примером может служить синхронная система координат в ОТО [22], временная координата которой имеет смысл собственного времени.
1.4. Локальное преобразование Лоренца. Резюмируем ограничения, принятые при введении коэффициентов Ламэ.
1. Трехмерность рассматриваемого пространства.
2. Ортогональность криволинейных координатных систем и, следовательно, диагональность метрического тензора g"a?.
3. Универсальность «привязки» неголономного базиса Ламэ е(а) к осям криволинейной системы: параллельность векторов е(а) И Єа.
4. Эвклидовость геометрии рассматриваемого пространства.
Переход к теории относительности сопровождается снятием этих ограничений. Следуя Эйнштейну, предположим, что в присутствии гравитационного поля пространство — время является римановым. Поэтому, отправляясь от изложенного в п. 1.2, заменим рассмотренное в нем трехмерное эвклидово пространство четырехмерным римановым пространством V4 [23]. Тогда криволинейные координаты ха заменяются 4-мерными криволинейными координатами с произвольным законом преобразования при условии, что х»' и Xv являются функциями класса Cn, где N достаточно велико [23].
20 Здесь и в основном в дальнейшем ограничимся такими преобразованиями криволинейных координат, когда все коэффициенты в линейном преобразовании дифференциалов координат являются частными производными:
X»' = f»' (jcv), xv = /v (х»')> dxV = Pv'vdxv , = дхZdxv , (1.30)
pn'v P^ = o\, d d X= dikP+'v]dxv dxk = 0.
[1 2]
Тогда криволинейные координаты задаются однозначно и являются голономными. Примем также, следуя Эйнштейну, локальную справедливость СТО, что позволяет в каждой точке V4 ввести локальное пространство E4. В последнем можно задать совокупность четырех базисных векторов е^ касательных к координатным линиям. Это определяет в каждом локальном E4 метрический тензор
