Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
ПЕРЕХОД К ЛОКАЛЬНЫМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ ЛОРЕНЦА
1.1. Введение Эйнштейном локальных систем. В своей первой работе по СТО Эйнштейн [1,2] для перехода от системы отсчета, мгновенно со-движущейся с ускоренным электроном, к системе отсчета, покоящейся, локально применил преобразование Лоренца, содержащее мгновенную скорость. Это выразилось затем в определении импульса ускоренной частицы через производную от координат по собственному времени и в дифференцировании такого импульса по времени лабораторному [3]. Тем самым Эйнштейн обобщил в динамике СТО преобразование Лоренца, введя зависимость его параметра-скорости от времени, т. е. от четвертой координаты, установленной в покоящейся системе. Вследствие этого местные координаты (локальные), связанные с мгновенно содвижущейся системой, приобрели новые свойства: дифференциал локальной временной координаты стал неполным, а конечное собственное, локальное время оказалось зависящим от мировой линии, ведущей в данную точку. На это впервые обратил внимание Минковский. В примечании к его знаменитой работе «Пространство и время» Зоммерфельд [2] пишет: «Как отметил Минковский в одной из бесед со мной, элемент собственного времени не есть полный дифференциал. Таким образом, если соединить две мировые точки OwP двумя различными мировыми линиями 1 и 2, то
JdT=^jdx. (1.1)
I 2
U Если первая мировая линия проходит параллельно оси t, вследствие чего первый переход в координатной системе, положенной в основу, означает покой, то легко видеть, что
jA = f, JdTCfr. (1.2)
1 2
Перепишем эти соотношения в 4-мерной тензорной форме. Обозначим дифференциалы псев до декартовых координат, связанных с покоящейся системой, dXh, а с мгновенно содви-жущейся — Тогда, согласно СТО, имеем
— ds2 = r\abdXadXb — dX4dX4 = r\(aHb)dx^dx^ — dx<4>dx<4>. (1.3)
Положив, что вдоль первой мировой линии dXa = 0, находим
(dX4)2 = ds2 Idx9sd0 г dx2 = (dx<4>)2 - т](amdx<"Wb\
(1.4)
dx(4) = Lfe<4> (v(t))dXk.
Так как Tjab = diag(l, 1, 1), то -
Jdx<4>C j*dX4 = X4.
2 І
Дифференциалы трех пространственных координат при этом предполагались полными.
Неполные дифференциалы пространственных координат также не вполне явно были введены в классическую физику задолго до создани^ теории относительности. Они вошли вместе с коэффициентами Ламэ, введенными для того, чтобы облегчить физическую интерпретацию теорий, построенных в ортогональных криволинейных координатных системах, и обеспечить возможность сравнения таких теорий с измерениями.
Создавая ОТО, Эйнштейн предположил, что в присутствии гравитационного поля справедливость СТО сохраняется локально. В § 4 «Основ общей теории относительности» [1], названном «Связь четырех координат с результатами'пространственных и временных измерений», Эйнштейн вводит локальные системы в ОТО, аргументируя это тем, что величины в «местной» координатной системе могут быть измерены. Далее Эйнштейн вводит связь между дифференциалами криволинейных координат X» в ОТО и дифференциалами координат в локальной системе:
dx<k> = ? h^dx» = hjk>dx». (1.5)
(В (1.5) эйнштейновы обозначения, принятые в [1], заменены на его более поздние обозначения). Это соотношение в эйнштейново построение ОТО вошло как наводящее. Однако в нем
12 Эйнштейн фактически синтезировал введение неполного дифференциала собственного времени с неполными дифференциалами трехмерных координат локальной системы, связанными с криволинейной системой коэффициентами Ламэ. Следовательно, коэффициенты преобразования HvP^ в соотношении (1.5) являются обобщением трехмерных коэффициентов Ламэ., Обобщение производится на пространство 4-мерное, искривленное, и на любые, не обязательно ортогональные системы криволинейных координат. Последнее освобождает локальные псев до декартовы системы от условия, что их оси касательны к осям криволинейной системы координат. Тем самым локальные системы становятся независимыми.
В последующих работах, привлекающих эйнштейнову ОТО для построения теории взаимодействия гравитационного и фермионных полей [4—11], соотношение (1.5) получило применение и дальнейшую детализацию. Г. Вейль, а также В. А. Фок первые обнаружили, что создание общековариант-ного спинорного аппарата требует введения в каждой точке пространства независимой лоренцевой координатной системы, комбинируемого с требованием инвариантности при локальных лоренцевых преобразованиях. В частности, инвариантными являются дифференциалы криволинейных координат, что выражается соотношением, обратным (1.5):
Поскольку принимается, что h^ ik)h^n) =6<n)(ft), то разрешая (1.7) относительно L(fc)'(n), находим
Отсюда видно, что лоренцево преобразование, введенное в (1.6) локально, зависит от координат.
Дальнейшее развитие ОТО привело к переформулировке эйнштейновых уравнений гравитации — к представлению их в виде уравнений относительно коэффициентов Zim,^) как неизвестных искомых функций (тетрадная формулировка ОТО). Поскольку эйнштейновских уравнений гравитации, дополненных координатными условиями, недостаточно для разыскания 16 компонент коэффициентов вводится шесть дополнительных условий. Это интерпретируется как выбор 6 параметров локального лоренцева преобразования.
