Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Yoo(A)X = (k)bv (n)IW - № {k)d^(ny (1.40)
Полученные коэффициенты связности Y(Zt)(Vt)Ji являются коэффициентами вращения Риччи [32]. Они антисимметричны по двум первым индексам.
23 Сравнение ориентации неголономного лоренцева базиса в различных точках, поскольку он принадлежит локальным системам, должно осуществляться параллельным переносом в смысле коэффициентов связности Y(ьхп)я- Поэтому, как, например, отмечено в [33], «преобразование от снесенного к локальному базису, осуществляемое антисимметричной матрицей
toOtXn) = —W(n)(A) = Y(h)(n)bdxK »
(1.41)
6eOO = ю<*>(я)*<я>.
таково, что оно является лоренцевым преобразованием».
Таким образом, неголономные псевдодекартовы системы, принадлежащие данной точке, преобразуются друг в друга с помощью конечного обобщенного лоренцева преобразования (1.39). Неголономные системы, принадлежащие двум бесконечно близким точкам (после параллельного снесения), преобразуются друг в друга также лоренцевым преобразованием, но бесконечно малым вида (1.41), требующим установления аффинной связности. Это наделяет б. м. лоренцевы преобразования определенной геометрической структурой, поэтому его свойства зависят от свойств коэффициентов связности У(к)(п)к, т. е. от тех требований и уравнений, которым эти коэффициенты подчинены. В СТО — это требование псевдоэвкли-довости пространства и специальный принцип относительности, в ОТО — эйнштейновы уравнения гравитации, дополненные координатными и калибровочными условиями.
Дальнейшее совместное изучение конечных локальных лоренцевых преобразований (1.39) и б. м. (1.41) требует использования аппарата неголономной дифференциальной геометрии. Основные необходимые сведения об этом аппарате систематически изложены в § 3, что позволяет далее^перейти к рассмотрению конкретных физических задач, требующих привлечения локальных лоренцевых преобразований. Однако прежде чем перейти к изучению указанного математического аппарата, имеет смысл бегло познакомиться с областями применения обобщенных преобразований Лоренца.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
2.1. Некоторые применения в нерелятивистской физике.
Имеются нерелятивистские классические теории, в которых локальные неголономные декартовы системы и их локальные преобразования трехмерного вращения привлекаются для описания физических явлений. Так, коэффициенты вращения
г^
24 Риччи и объекты неголономности плодотворно применяются в классической динамике, например [21, 34]. Классические уравнения движения в квазикоординатах явно содержат объекты неголономности. В качестве примера применения обобщенных преобразований трехмерного вращения укажем на геометрическую теорию дислокаций кристалла. В ней коэффициенты вращения Риччи используются для непосредственного описания с помощью геометрических величин тех физических изменений в кристалле, которые возникают в результате его деформации. Для описания этих изменений привлекаются закономерности неэвклидовых геометрий. При этом вектор Бургерса, характеризующий дислокацию, подвергается обобщенному, локальному преобразованию трехмерного вращения, дислокации связываются с неголономностью локальных систем, с неэвклидовостью геометрии и т. д. [35—38].
2.2. Локальные лоренцевы преобразования в СТО и некоторых ее обобщениях. 4-мерное пространство кинематики СТО в силу его псевдоэвклидовости допускает введение глобальной 4-мерной псевдодекартовой координатной системы, к которой обычно и относятся изучаемые явления. Широко используется ,в кинематике СТО и частный случай криволинейной системы с искривленными пространственными осями и прямой («декартовой») временной осью. Тогда в каждом собственном пространстве переход к коэффициентам Ламэ таков же, как и в классической физике. Запись СТО в любой криволинейной, заранее не предрешенной координатной системе, введенной в плоском пространстве — времени, представляет, в частности, интерес с точки зрения последующего перехода к ОТО, где принципу общей ковариантности Эйнштейн уделил значительное место. Анализ этого принципа многократно проводился, в частности, в [30, 39—43], с других позиций, например, в [44—47].
В динамике СТО справедливость соотношений кинематики СТО для инерциальных движений становится локальной (локальная инерциальность движения). Это детально обсуждается в [23, 30, 48] и многих других исследованиях. Имеются два варианта построения динамики СТО. В одном используется глобальная псевдодекартова система координат и величины относятся к лабораторной инерциальной системе отсчета. Компоненты физических величин относительно глобальной псевдодекартовой системы отвечают требованиям метрологии и могут быть измерены. Это делает глобальный вариант динамики СТО удобным. Ряд вопросов, однако, требует также привлечения систем отсчета, связанных с ускоренными частицами, т. е. построения другого, локально-глобального варианта теории. В таком варианте динамики СТО глобальные голо-номные псевдодекартовы координаты сохраняются или, что в
25 принципе не существенно, заменяются криволинейными, но кроме них вводятся локальные псевдодекартовы, системы — собственные системы движущихся частиц. Как отмечено в п. 1.1, в динамике СТО дифференциал локального, собственного времени dx не является полным. Элементы локально-глобального формализма введены в динамику СТО Минковским, но в его работах не получили явного математического оформления и развития — специального исследования характера неголономности, введения двойной ковариантности — и относительно координатных глобальных преобразований и относительно лоренцевых локальных. Переход от варианта динамики в глобальном формализме к варианту в локально-глобальном описании требует преобразования от локальной и, следовательно, неголономной псев до декартовой системы координат к псевдодекартовой глобальной голономной системе. Эти преобразования, очевидно, должны быть обобщенными лоренце-выми. Неголономный лоренцев репер, связанный с движущейся частицей, и обобщенное лоренцево преобразование обычно применяются в динамике СТО лишь в скрытой форме. Это мешает дальнейшему изучению свойств локальных преобразований Лоренца, в частности, затрудняет рассмотрение контакта между СТО и ОТО, например, сопоставление неголономности локального времени Меркурия, обусловленной уравнением гравитационного поля Эйнштейна, и неголономности, вытекающей из законов динамики СТО.
