Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Й(1)І4 = -VдА{1) =^di-, QWliv = О,
(11.6)
Таким образом, во-первых, внутри сферы Швардшильда локальное время становится голономным, тогда как локальный радиус неголономен. Вне шварцшильдовой сферы, как видно из (10.10), имеем обратное. Во-вторых, локальные псевдодекартовы координаты, построенные при помощи (11.5), имеют вид:
dx& = hjpdx* = Hi^dx1 = a2dx\
dx*
(11.7)
dxW = HVdx» = hf>dx*=
<*2
Калибровочные условия (10.4) автоматически приводят к обращению внутри сферы Шварцшильда дифференциала пространственной глобальной координаты во временную локальную координату и дифференциала временной глобальной в пространственную локальную координату. Такого рода обращение впервые вскрыто и исследовано с других позиций в [319, 320]. Тетрады (10.6) приводят также к обращению углов:
dxM = h3Wdx<3\ dx& = H2^dx2.
(11.8)
В [319, 320] это обращение не вводится, т. е. вместо калибровочных условий (10.4) принимаются другие, приводящие к тетрадам:
0 0
о о
A4W=-
J_ O2
V2' = Г 0
0
0 0
Zt3^ = rsine
H1W = aj О О
(11.9)
174. Нетрудно убедиться, что тетрады (10.6) и (11.9) могут быть получены из одних и тех же калибровочных условий вида
К = 0, h2w = A3W = a4(4) a о. (11.10)
При этих условиях уравнение g14 = HikH4knHhn является тождеством. Оставшиеся 9 уравнений системы (10.1) при нахождении неизвестных 10 тетрад имеют два варианта решений —(10.6) или (11.9). Второй, очевидно, не вызывает обращения углов под гравитационным радиусом и приводит к отличным от нуля компонентам ?<2>12, ?<3>13, Q<3>23, совпадающим с (10.10).
Из условия ортонормируемости находим, что матрица обратных тетрад имеет ту же конструкцию, что и (11.9):
1
0 0 0 А1(4) =
ti\\r<r.
аг
0
Л4(і) =
Mr
0
0 1/г sin 6
0
0
0
0
(11Л1)
Итак, тетрады (10.3) и (11.9) правильно выражают локальную справедливость СТО соответственно вне и внутри сферы Шварцшильда, но имеют особенности при г=г0. Это значит, что принятые вне и внутри сферы калибровочные условия для тетрад в шварцшильдовой системе координат не сшиваются.
Для установления локальных систем на сфере Шварцшильда требуется совершить переход к такой координатной системе, чтобы тетрады не имели на этой сфере особенностей, т. е. в которой сшивание калибровочных условий обеспечит непрерывное изменение тетрад и метрики при переходе внутрь сферы.
11.2. Общий метод разыскания преобразований, устраняющих особенности на сфере Шварцшильда. Соотношения
(11.12)
если бы в них метрические тензоры, исходный и преобразованный, были известны, можно было бы рассматривать как дифференциальные уравнения относительно преобразованных координат X»'. Однако по самой постановке указанной задачи все компоненты в этих соотношениях неизвестны. Переход к тетрадам дает аналогичные уравнения:
Тогда
= P^kLS (Xk) h\.
(11.13)
(11.14)
175 Уравнения (11.13), однако, отличаются от (11.12) не только линейностью, НО И тем, ЧТО В НИХ 6 ИЗ 16 компонент Wk' можно рассматривать известными. Действительно, как видно из предыдущих пунктов § 10, имеются два способа нахождения тетрад в данной координатной системе: 1) заданием 6 параметров локального^ лоренцева преобразования, 2) переходом к 6 новым калибровочным условиям. В первом случае новые тетрады находятся из 16 соотношений Hlxk,z=Lk,rh^r, в которых 6 параметров локального лоренцева преобразования заданы, во втором случае—из десяти уравнений (10.1) и шести новых калибровочных условий. В обоих случаях координатная система неизменна. Таким образом, произвольный выбор в (11.13) шести параметров локального лоренцева преобразования, будучи эквивалентным переходу к шести новым калибровочным условиям, в принципе допускает возможность наложения на тетрады Wk шести произвольных условий. Например, 6 из 16 тетрад Wk можно приравнять некоторым известным функциям, в частности положить их равными нулю. Поскольку, однако, тетрады Wk относятся к преобразованной и еще неизвестной координатной системе, наложение на тетрады Wk калибровочных условий еще не означает задания лоренцевых параметров. Поэтому последующее (после выбора калибровки для тетрад Wk') подчинение лоренцевых параметров некоторым условиям означает соответствующий отбор определенного класса координатных систем.
В п. 6.5 уравнения вида (11.14), а следовательно, и (11.13) использованы для введения «ускоренных координат». Естественно ожидать, что именно среди «ускоренных координат» найдутся такие, в которых метрика Шварцшильда не содержит особенностей. Действительно, коэффициенты лоренцева преобразования имеют особенности в пределе при v-+c. Может оказаться, если эти особенности будут иметь место также на сфере Шварцшильда, что они компенсируют особенности шварцшильдовых тетрад.
Задача исследования с единой точки зрения всего класса координатных преобразований, устраняющих особенности в метрике Шварцшильда с помощью локальных преобразований Лоренца, поставлена в [337]. Исходные позиции задачи в этой работе сформулированы нековариантно. Это выражается в том, что используется частный случай системы уравнений (11.13). Избранный в [337] метод решения задачи использует систему (11.13) лишь частично. Нековариантность теории разыскания указанных координат относительно общих координатных преобразований вызвана самой постановкой задачи — выделением из всего множества допустимых координатных систем тех систем, в которых метрика не имеет особенностей.
