Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
В (11.79) — (11.80) входят A4W и А*1* имеющие, согласно (11.1), особенности на сфере Шварцшильда. При разыскании V из соотношений (11.81) тетрадные компоненты А4<4) и Aj^сокращаются. Параметр v является локальной компонентой относительной скорости двух систем отсчета, определенных соответственно полем неголономных реперов ек(хк) и е/ (а:^). Локальные неголономные псевдодекартовы координаты, соответствующие реперу efe(A^), выражаются следующими соотношениями:
dxW = h^'Lk'Wdx»' = HiWfLiiyWdxv + WyLiAVilW9
(11.82)
dxw = hwk,Lk>Wdx+' = HiWtLiiyWdxl' + WyLiArwM9
приведенными в нетензорной форме в [337].
Рассмотрим компоненты локального лоренцева преобразования для области г<г0. Для этого воспользуемся тетрадами (11,9) и положим, что тетрады A^V соответствуют калибровочным условиям вида (11.10), т. е. имеют такую же конструкцию, как (11.11). Тогда из (11.78) находим:
?(ir(4)- ViXyhpPS = ViiyHiW9
Li4yW ^HvwHiWPlA==H^rHiW9
(11.83)
LiiyW ^ Н*\1УН WP4A = WiiyHlkWi Li4yW = Hvi4yH WP1A ^ h\4yh,w. Это также однопараметрическое лоренцево преобразование гиперболического вращения. Выражение локальной скорости в этом случае отлично по форме от выражения (11.81):
ц _ LwW IiiyW Vw _ hiiiy
LwW LwW h\lv Vw'
Сравнивая (11.81) и (11.84), видим, что по конструкции они взаимно обратны. Соотношение и = if1 употребляется в условном смысле, UHv относятся к разным областям.
Для области г <г0 аналогично (11.82) имеем:
dxW == HyWfLwWdxv + hrW'LwWdx*\ (11,85)
dxW = Hl-WfLwWdx1' + h^wfLwWdx*\
т. е. локальные координаты (11.82) и (11.85) в отличие от (11.7) выражаются через дифференциалы и пространственных и временных глобальных координат.
11.6. Связь координатных преобразований теории хронометрических инвариантов с локальными преобразованиями Лоренца. В предыдущих пунктах § 11 устанавливалась явная связь «ускоренных координат» с локальными лоренцевыми преобразованиями, т. е. с системами отсчета в их реперном определении. Установление связи между преобразованиями координат и преобразованиями систем отсчета составляет одну из главных задач теории хронометрических инвариантов. В этой теории локальные лоренцевы преобразования явно не используются. Система отсчета определяется как специальный случай поля следующего вектора у», называемого метрическим вектором:
def
ds
= fva = 0, у*=—L-I
V У &« '
Yji = —Tzzr-' (11.86) Vgk 4
Существует широкий класс преобразований координат, а именно:
Xa'= (ха), (11.87)
X4'= X4'(ха, X4), (11.88)
который не меняет системы отсчета. Для этих преобразований имеем
Pa'4 = дх«/дх* = О
(11.96)
190 По терминологии, используемой в [202], преобразования (11.87) — (11.88) связывают между собой идентичные системы отсчета. Таким образом, не любые допустимые преобразования координат отождествляются с преобразованиями системы отсчета, а лишь те координатные преобразования, которые не сводятся к (11.87) — (11.88). При переходе от одной системы отсчета к идентичной ей чисто пространственная часть любого контровариантного по всем индексам мирового тензора остается инвариантной относительно (11.88) и преобразуется относительно (11.87) с помощью трехмерного преобразования с коэффициентами P^' = OxafIdx^t поскольку в силу (11.89)
dxa' = Pa\dx» = Pa\dx*. (11.90)
Существуют величины, полностью инвариантные относительно (11.87) — (11.88), называемые в [203] хронометрическими инвариантами. По определению они одинаковы во всех идентичных системах отсчета и преобразуются при изменении систем отсчета, т. е. относительно преобразований, не сводимых к (11.87) — (11.88). К ним, например, относятся физическое хронометрически-инвариантное время, хронометрически-инвариантный метрический 3-тензор: v
de
dt = gkvdx» Iiglkk = y^dx», (11.91)
Yae = — SabgfiJgu = Sa? — YaY3- (11-92)
Смешанные компоненты удовлетворяющие соотношениям
Ya ? == ?a 0 — Ya Y?. Ya ?Y? V = Ya Y> (11.93)
образуют проектирующий оператор. С его помощью автоматически при учете (11.86) из 4-тензоров выделяется их трехмерная часть:
«
xfl = Ya0^p = va —уа у^xfi = ifl, (11.94)
Ya? = U Y?V &V = Sa? + YaY6- (11.95)
, Выделенные с помощью метрического тензора, задающего систему отсчета, 3-тензоры и хронометрические инварианты трактуются как наблюдаемые (измеряемые) величины.
Сопоставим задание системы отсчета метрическим вектором и тетрадами. Из уравнений
dx» = h»adxa +№ (4)djt<4>,
(11.96)
ds2 = g^dx» dxx = r\hndxkdxn
191 находим
, , 1tl dx*1 * dxv
ds a =dx«\
dxW ds
Y". (11.97
где звездочка над равенством указывает, что оно относится к произвольной, но фиксированной локальной псевдодекарто вой системе координат. Если, в частности,
йа(4) = 0, (11.98
то в силу ортонормируемости тетрад также
V = O. (Ц.9?
Таким образом, требование уа = 0, входящие в (11.86) является упрощенной записью трех калибровочных условий Еыраженных через прямые тетрадные компоненты соотноше нием (11.98) или через им обратные — уравнением (11.99) Упрощение записи состоит в отбрасывании произвольного, н< фиксированного локального индекса (4). Это мешает явн< связать преобразование системы отсчета с локальным лорен цевым преобразованием, которое может воздействовать на ин деке (4). Восстановим этот индекс и рассмотрим следующш преобразованные тетрадные компоненты:
