Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ih ft
a4ln A1 =--Е1(2Го0-1), (11.38)
д \ U ° + 1 1 ае
-^lnA1= (11.39)
Условие интегрируемости этой системы, т. е.
Aa4A1 = ^AA1, (11.40)
имеет вид
-^a4e-(the + cthe)a4e|l + -^^- = o. (п.4і) Рассмотрим простейшее решение этого уравнения:
= О, т.е. ^a40=O. (11.42)
.1
Тогда уравнение (11.39) упрощается:
Inft1-J *L+Ida + U(t), (11.44)
где и (0 — произвольная функция. Подставляя (11.44) в (11.38), имеем
th А
а4 in A1 = а4и =--(2гое - 1). (11.45)
za0
Следовательно,
182.
т. е. В частности,
в=2к' (П'47)
Тогда уравнение (11.43) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. При условиях (11.47) и (11.26) уравнение (11.24) совпадает по виду с (11.43). Интегрируя (11.43) как обыкновенное уравнение и выбрав постоянную интегрирования равной 1/ \ 2, получаем
W-AW- тт/Т^- (11-48>
Выбор параметра (11.47) привел к тетрадам, а следовательно, и метрике, не имеющим особенностей, т. е. обеспечил сшивание калибровочных условий вне и внутри сферы Шварцшильда. Подставив (11.48) в (11.15)-(11.18) и в (11.28) — (11.31) и интегрируя эти уравнения, находим крускаловы координаты [333]:
(che-gr)ep-f-
J_ / , et \ a
(11.49)
Лоренцево преобразование, позволившее с помощью системы (11.13) получить эти координаты, согласно (11.47), имеет вид:
ch Ct 2 г0 0 0 sh Ct 2г0
0 1 0 0
0 0 1 0
sh Ct 2 г •"о 0 0' ch Ct 2г0
Особенности в тетрадах и метрике устраняются не одним крускаловым координатным преобразованием P»'Vi а совместно с локальным лоренцевым преобразованием (11.50). Действительно, тетрады, полученные из нормально-диагональных тетрад Шварцшильда только с помощью крускалова преобразования, т. е.
Vm = W = LvwVfcf. (11-51)
183. имеют особенности при г = г0. В самом деле Am/*' их не имеет, а коэффициенты лоренцева преобразования расходятся на гравитационном радиусе. Следовательно, нельзя установить локальную неголономную систему на сфере Шварцшильда ни с помощью тетрад A1/71, ни с помощью Ajl1'"1. Поскольку найденные тетрады /і^У диагональны, тетрадные векторы е^ касательны к осям крускаловой координатной системы. Ее координатные линии весьма отличаются от координатных линий шварцшильдовой координатной системы [48, 333, 335, 336]. Следовательно, тетрадные векторы е*;', входящие в тетрады (11.48), не совпадают с векторами eA, входящими в нормально-диагональные тетрады A14* (10.3). Если разыскивать преобразованные тетрады извлечением квадратного корня из крускалова gyv, то за этим скрывается выполнение локального лоренцева преобразования (11.50) над шварцшильдовыми тетрадами.
Локальные координаты, установленные с помощью крускало-вых тетрад (11.48) таковы, что обе компоненты dx{1)f и dxw неголономны. При г>г0 находим
QW14. = — Q<*>'14, =--\— X
о 4j/a
J
X d, fen-) (chO) (a - I)2,
(11.52)
V et 8/л*
—= th -ST- » Sw = —г— е
о—Ob
2 г
Аналогичное соотношение имеет место и внутри сферы Шварцшильда. Множитель (chO) (a—I)2 является общим в уравнениях (11.49) и (11.52). Поэтому и крускаловы координаты и объекты неголономности не имеют особенностей при a = 1:
(Ihew0= 1. (11.53)
В [337] отмечается, что требование (11.53) является общей характеристикой лоренцевых преобразований, привлекаемых к разысканию координатных преобразований, устраняющих особенности в метрике. Это требование необходимо, но недостаточно. Приведем пример лоренцева параметра в, совпадающего с параметром (11.47) при г = г0, но не устраняющего особенностей коэффициентов в условиях интегрируемости (11.23). Так, если
<"-54,
184 то
Iim 6j = • (11.55)
r-*r0 Zr0
Такой выбор 0 сохраняет особенности коэффициентов в (11.23). Тетрады /^,испытавшие крускалово преобразование, имеют особенности, но дают gyV' без особенностей.
Сравнивая 0і в (11.54) с параметром локального лоренцева преобразования (10.39), полученного при рассмотрении куло-новой калибровки, видим, что они совпадают.
Нековариантность операции выделения крускаловой координатной системы можно иллюстрировать следующим образом. Ограничившись подпространством (л:1, л;4), очевидно, имеем:
gvv -=Pv1Pr1Sil + Pi-4Pi-4^44 =
=ch20grr-sh20?rr, (11.56)
grr = Pv1PSgii + P4-4P4-4^44 =
= - sh2 е gvv + ch2 0 gvv. (11.57)
Приравняем в этих уравнениях следующие члены (что нарушает ковариантность):
Ch2Offrr = PlAPlAglif sh20grr = -PHPr4^44, (11.58)
ch2 0 grv = P4-4P4-4^44, sh2 0 gvr = — P4-lP4-1^11. (11.59)
Эти соотношения удовлетворяются, если И ^m/V' — шварц-шильдов и крускалов метрические тензоры, a P^v — крускалово преобразование.
11.4. Выбор лоренцева параметра, приводящий к координатам Рылова. Перепишем условие интегрируемости (11.23) в другом виде, сохранив калибровочное условие (10.7):
д , . a /, V^-IshQ \ ,
+ —уГ~Г
а г 0 гпа
А^/тЧшг^-о. (11.60)
а —1 1 (а —1) th 0
Тем самым коэффициенты при h\ и производных от h\ представятся в иной форме, что может подсказать другой вариант выбора параметра 0. В (11.60) множитель 1/(а—1) входит в два последних члена. В частности, можно избавиться от него. приравняв сумму этих членов нулю. Тогда вместо (11.60) при условии, что sh 0 і а—1 при а-к1 конечно, получаем:
