Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваницкая О.С. -> "Обобщенные преобразования Лоренца и их применение" -> 53

Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.

Иваницкая О.С. Обобщенные преобразования Лоренца и их применение — Мн.: Наука и техника, 1969. — 229 c.
Скачать (прямая ссылка): obobsheniepreobrazovaniya1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 75 >> Следующая


либровке касательны к осям шварцшильдовой, пространственно-сферической системы координат. После преобразования (10.31), в частности, имеем

Вектор е(3)' при рассматриваемом варианте временной калибровки уже не касателен третьей оси шварцшильдовой системы, а ей ортогонален (рис. 9). Поле векторов е(а), изображенных на этом рисунке, напоминает поле голоном-ного репера псевдодекартовой координатной системы в пространстве Минковского. Неголономность репера е<*ф соответствующего временной калибровке, проявляется при его псевдопараллельном переносе.

Вычисляя для тетрад (10.23) коэффициенты вращения Риччи, получим:

Рис. 9

&3(3 )'= Є3.Є(3)' = 0.

(10.32)

и*

163 V\u = O1 Y(1)(3)2 = — A cos Ф, y(2)(3)2 = — A sin Ф, Y(1)(3)3 = A sin 6 cos 0 sin ф,

Y(2)(3)3 = — Л sin 0 cos 0 cos ф, Y(1)(2)3 = A sin2 0, (10.33)

v(1)<4)4 = Sin 0 cos Ф, y(2) (4)4 = sin 0 sin Ф,

m

m

Y(3)(4)4=-^- COS0, A

a—I

a

Рис. 10 иллюстрирует псевдопараллельное перенесение базисного вектора е(1) на гіф. При этом возникает составляющая 6е(2),

пропорциональная —. В отсутствие гравитационного поля сме-т

щение становится параллельным.

Лоренцево преобразование (10.31) не содержит параметров гиперболического вращения. Поэтому системы отсчета при нормальной и временной калибровке в динамическом отношении идентичны. Изменение трехмерных векторов еа при преобразовании (10.31) меняет проекции параметров гиперболического вращения бесконечно малого лоренцева преобразования. Из (10.33) находим:

Следовательно, скорость падения на центр, имеющая в нормальной калибровке лишь одну компоненту, в локальной

Рис. 10

т

(10.34)

164 системе, соответствующей временной калибровке (10.3), остается той же, но имеет отличными от нуля все три компоненты.

10.4. «Кулонова» калибровка тетрад. Дополним уравнения (10.1) калибровочными условиями [287]:

Ybn4 = 0 или Гй?4 = VaA*. (10-35)

напоминающими в спинорной форме «кулоновскую» калибровку в электродинамике [168]. Это значит, что вдоль временной оси тетрады распространяются по Ферми [23]. Подставим в (10.35) символы Кристоффеля, построенные из шварц-шильдова g^y. Легко видеть, что следующие компоненты тетрад

h2k = r62k, h3k = rsin 963fe (10.36)

обращают 12 уравнений из систем (10.1) и (10.35) в тождества. Четыре остальных уравнения имеют вид:

a2 = (ft/15)2 — (fti(4))2,

-V =(W4))2-(ft4(1))2, (10.37)

а2

HiWfi4tW-HiWfi4tW = 0, IiiWdkHkW -HiWd4H4W = о.

Решая их, находим, что «кулоновская» калибровка в случае шварцшильдова поля, в частности, приводит к тетрадам

/

К

к __

a chctf 0 0 — ashctf
0 г 0 0
0 0 rsino 0
shctf 0 0 chctf
а а
_ Ьс km сг0
'а2 а2 2 г2 -

(10.38)

При t =0 они совпадают с диагональными тетрадами (10.3). При іф 0 тетрады (10 38) можно также получить из тетрад (10.3), совершая над ними локальное лоренцево преобразование, зависящее не только от радиуса, но и от времени:

chat 0 0 — sha t 1 0 0 0 1 0 0 0 ch ctf



0 0

ч—sh at

(^цЛ)кулон &)норм"

(10.39)

165. В малой области, где а ж const и после замены х* = et на х4=*, преобразование (10.39) совпадает с локальным лоренцевым преобразованием (6.23). В пределе г 2т*, т. е. на сфере Шварц-шильда,

V »eth. (10.40)

4т*

Такой лоренцев параметр рассмотрим детальнее в § И.

Если принято реперное определение системы отсчета, то ее частный случай, задаваемый «кулоновской» калибровкой тетрад, отличается от падающей системы, соответствующей нормальным тетрадам, дополнительным движением по радиусу со скоростью согласно (10.40).

Следовательно, системы отсчета, задаваемые нормальными и кулоновыми тетрадами, не идентичны в динамическом отношении.

Лоренцево преобразование (10.39) неголономно, причем

гч tdid и , ~ td.a , .

qCDW(I) =--jr— ch at, ?2(4)(1)(4) = —shat,

2а 2 a

^ (2) (i)(2) = ^ (3)(1)(3) = — chat, (10.41)

^(2)(2)(4) = ?2(3)(3)(4) = sha^.

Пользуясь (10.8) и (10.38), находим отличные от нуля компоненты Улпх-

sin 0 ch at

Y(I)(4)1 = ^la' Y(I)(2)2 =

а

Y(2)(4)2 - д smеsha, Yd)(з)з =--. (10.42)

а а

sh at

Y(3)(4)3 =

откуда

^)(0(4) = t(dia)dr, (o(2)(4) = -sha* , (ua(4)

а

sin 0sha?

»(3)(4)

dx*

(10.43)

= 0.

= 0

Поскольку скорость (10.40) зависит от радиуса, происходит изменение взаимного движения элементов системы отсчета, что и выражается соотношениями (10.43).

166. После лоренцева- преобразования (10.39) натуральная длина и координатное время между двумя физически одновременными событиями зависят от времени:

dxw = _ ashcrt + cdt - 0,

etat = a2 th a/, dl2^ha-h^abdxadx^ = a2 ch2 a/dr2 + г2 sin2 Qdy2 + rW,

(10.44)

(10.45)

причем натуральный метрическии тензор четырехмерен, а натуральное время не совпадает с координатным:

d*xA - Л4(4) (HlWdx1 + HkWdx*) ф dx\ gn = Zi1flVг)аЪ = a2ch2at, gn = a2,



(10.46)

Отсюда следует, что и fea^ и /Tctj3v для 3-подпространства будут отличаться от соответствующих компонент этих величин 4-пространства.

Тетрады (10.38) не являются нормальными. Их можно привести к нормальному виду, если сделать над ними следующее преобразование к «падающей системе координат»:
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed