Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
T1I1 = W1=^- = F111, а
где символы Кристоффеля rv удовлетворяют (10.8). Отсюда можно показать, что для диагональных тетрад (10.3) «натуральная неэвклидовость» 3-подпространства совпадает с не-эвклидовостью, вытекающей из шварцшильдова решения (10.1). Компоненты тензора Римана относительно локальной неголономной системы координат в 3-подпространстве, например:
K12I2 = (W [H2XiX2)- 2Y(1)(2)/^(1)(2>] = ^12I2,
(10.19)
rabcd = dicyawl + 2yaf[cyf[b[d] >
совпадают с компонентами, построенными из символов Кристоффеля.
Из (10.10) находим:
<°(2Х4) = ю(зХ4) = 0, соаЬ Ф 0,
(10.20)
or dxW а2
значит, в данной точке с течением времени происходит лоренцево преобразование, соответствующее ускоренному движению вдоль радиуса. Таким образом, если тетрады задают в согласии с [44, 117] систему отсчета, то она при калибровоч-
159.ных условиях нормальности тетрад относится к «падающим системам отсчета». Из (10.9) и (10.20) имеем
<°(i)(4) = т
cdt г2
(10.21)
т. е. в этом смысле приходим к «свободно падающей системе отсчета». В [323] при помощи локальных преобразований Лоренца проанализирован элементарный вывод метрики Шварцшильда и указан ряд авторов, независимо к нему пришедших (М. Соже, В. Е. Лашкарев, В. Ленц, Ж. Беккерель и др.). Этот подход получил развитие в работах [324, 325] и др.
Рис. 7
Рис. 8
10.3. «Временная» калибровка тетрад. Дополним уравнения (10.1) относительно IiiXh калибровкой тетрад (рис. 7 и 8):
Aac*> = 0, V = 0> или haik) = 0, h\ = 0. (10.22)
(Название «временная» калибровка тетрад предложено Швингером для трех уравнений Ii4a = 0. Уравнения IiaW = O использовались в [69]).
В [326] подробно исследовано решение тетрадного уравнения Эйнштейна при калибровочных условиях (10.22) и найдено частное решение для тетрад, обеспечивающее шварц-шильдову g^:
Kk
( CL sin 0 cos ф a sin 8 sin ф acoso 0 \ Г COS О COS ф Г COS О sin ф —г sin в 0 — г sin 6 sin ф г sin 8 cos ф 0 0
0 0 0 —
a /
(10.23)
160.Для этих тетрад отличны от нуля следующие компоненты объекта неголономности:
Q(I)12 = а * COS 0 COS ф, QW13 == — s^n 0 s^n Ф»
(10.24)
q(2)12 s» cL-1 cos 0 Sjn Q<2)13 = --- sin 0 cos ф,
2 2
?(3)i2 = -^ sine, й(4>14 = —\ a. (—).
jL Z \ CL f
В пределе ra->0 все компоненты объекта неголономности (10.24) исчезают, подобно тому как исчезали все компоненты объекта неголономности (8.71) в пределе (о->0. Различие состоит в том, что в случае (8.71) исходная глобальная система является псевдодекартовой и до перехода к пределу, тогда как в случае ((10.24) глобальная координатная система становится псевдодекартовой только в пределе. Таким образом, во временной калибровке появление пространствен-ноподобных компонент объекта неголономности обусловленно именно гравитационным полем, подобно тому как появление пространственноподобных компонент объекта неголономности в (8.71) обусловлено вращением.
В простейших случаях замкнутых контуров из (10.24) находим:
bxW\dxls=sdx*=dx<=0 =х ф HllWdx11 =
2П
=J H2^dQ = 2 J J QWi2drdQ = 0, (10.25)
о
2я
A^V^-^o = Cp h^dx» = J H3^d4, =
о
= 2 J J QWl^drdiр » 0.
В более общем случае при х1 = const по тем же соображениям
AxW = 2 JJ QWl2drdQ + 2 JJ QWl3drdq> =0. (10.26)
Для произвольного контура, когда х1 Ф const, результат может оказаться отличным от нуля. Относительно простейших контуров «натуральный угол» однозначен. Действительно, при X1 = const имеем:
A^V^^o = <JJ HilWdxix =
11. Иваницкая О. С. i?i2л 2я
=»I г cos е sin е de + j г sin Є cos фйф = 0, (10.27)
о о
о = A \dxx=dxz=dx*=Q = 0.
Неголономность эвклидова характера, имеющая место в (10.13), в данном случае отсутствует.
Аналогичный результат находим для Однако для про-
извольного контура в гиперповерхности (X1X4)
Дх<4) = - 2 J j fi^^xW = -2 j j QWikCdtdr =
= И 01 (~) c^dr ^ (I0-28)
Очевидно, (10.14) и (10.28) не совпадают, т. е. характер неголономности локального времени зависит от принятой калибровки тетрад.
*
Натуральный метрический тензор ga? для тетрад (10.23) трехмерен, но отличается от тензора ga?, взятого из (10.1). Действительно,
Iil = W^=A2=SrIi,
(10.29)
# * *
?зз = ?зз> gi2 = 0, gkk = Wnab = 0,
но
L = (Л2(1))2 + (W + (W = ^2 cos2 9 ф g22y gl3 = h^h^ + Лі(2)Л3(2) = 2ar sin2 0 cos ф sin ф ф g13,
(10.30)
L - № + л2(2)Л3(2) + А2(3)Л3(3) =
— 2r2 cos 0 sin 0 COS ф sin ф Ф g2V db= g^dxadx? = g^dxW. Таким образом, в случае «временной» калибровки тетрад
*
dl2Фdl2 и, следовательно, натуральная неэвклидова геометрия 3-подпространства отличается от неэвклидовой геометрии, порождаемой метрическим тензором (10.1).
От нормально-диагональных тетрад (10.3) можно перейти к тетрадам «временной» калибровки (10.23) следующим локальным лоренцевым преобразованием:sin 0 cos ф cos 0 cos ф —sin ф O
sin 0 sin ф cos 0 sin ф COS ф 0
cos0 — sin0 0 0
, 0 0 OL
(10.31)
т. е. преобразованием кругового вращения в 3-мерном подпространстве. Оно меняет ориентацию триады еа, входящей в состав тетрадных векторов Коль скоро тетрады (10.3) диагональны, это значит, что векторы еа при нормальной ка-