Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваницкая О.С. -> "Обобщенные преобразования Лоренца и их применение" -> 52

Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.

Иваницкая О.С. Обобщенные преобразования Лоренца и их применение — Мн.: Наука и техника, 1969. — 229 c.
Скачать (прямая ссылка): obobsheniepreobrazovaniya1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 75 >> Следующая


T1I1 = W1=^- = F111, а

где символы Кристоффеля rv удовлетворяют (10.8). Отсюда можно показать, что для диагональных тетрад (10.3) «натуральная неэвклидовость» 3-подпространства совпадает с не-эвклидовостью, вытекающей из шварцшильдова решения (10.1). Компоненты тензора Римана относительно локальной неголономной системы координат в 3-подпространстве, например:

K12I2 = (W [H2XiX2)- 2Y(1)(2)/^(1)(2>] = ^12I2,

(10.19)

rabcd = dicyawl + 2yaf[cyf[b[d] >

совпадают с компонентами, построенными из символов Кристоффеля.

Из (10.10) находим:

<°(2Х4) = ю(зХ4) = 0, соаЬ Ф 0,

(10.20)

or dxW а2

значит, в данной точке с течением времени происходит лоренцево преобразование, соответствующее ускоренному движению вдоль радиуса. Таким образом, если тетрады задают в согласии с [44, 117] систему отсчета, то она при калибровоч-

159. ных условиях нормальности тетрад относится к «падающим системам отсчета». Из (10.9) и (10.20) имеем

<°(i)(4) = т

cdt г2

(10.21)

т. е. в этом смысле приходим к «свободно падающей системе отсчета». В [323] при помощи локальных преобразований Лоренца проанализирован элементарный вывод метрики Шварцшильда и указан ряд авторов, независимо к нему пришедших (М. Соже, В. Е. Лашкарев, В. Ленц, Ж. Беккерель и др.). Этот подход получил развитие в работах [324, 325] и др.





Рис. 7

Рис. 8

10.3. «Временная» калибровка тетрад. Дополним уравнения (10.1) относительно IiiXh калибровкой тетрад (рис. 7 и 8):

Aac*> = 0, V = 0> или haik) = 0, h\ = 0. (10.22)

(Название «временная» калибровка тетрад предложено Швингером для трех уравнений Ii4a = 0. Уравнения IiaW = O использовались в [69]).

В [326] подробно исследовано решение тетрадного уравнения Эйнштейна при калибровочных условиях (10.22) и найдено частное решение для тетрад, обеспечивающее шварц-шильдову g^:

Kk

( CL sin 0 cos ф a sin 8 sin ф acoso 0 \ Г COS О COS ф Г COS О sin ф —г sin в 0 — г sin 6 sin ф г sin 8 cos ф 0 0

0 0 0 —

a /

(10.23)

160. Для этих тетрад отличны от нуля следующие компоненты объекта неголономности:

Q(I)12 = а * COS 0 COS ф, QW13 == — s^n 0 s^n Ф»

(10.24)

q(2)12 s» cL-1 cos 0 Sjn Q<2)13 = --- sin 0 cos ф,

2 2

?(3)i2 = -^ sine, й(4>14 = —\ a. (—).

jL Z \ CL f

В пределе ra->0 все компоненты объекта неголономности (10.24) исчезают, подобно тому как исчезали все компоненты объекта неголономности (8.71) в пределе (о->0. Различие состоит в том, что в случае (8.71) исходная глобальная система является псевдодекартовой и до перехода к пределу, тогда как в случае ((10.24) глобальная координатная система становится псевдодекартовой только в пределе. Таким образом, во временной калибровке появление пространствен-ноподобных компонент объекта неголономности обусловленно именно гравитационным полем, подобно тому как появление пространственноподобных компонент объекта неголономности в (8.71) обусловлено вращением.

В простейших случаях замкнутых контуров из (10.24) находим:

bxW\dxls=sdx*=dx<=0 =х ф HllWdx11 =



=J H2^dQ = 2 J J QWi2drdQ = 0, (10.25)

о



A^V^-^o = Cp h^dx» = J H3^d4, =

о

= 2 J J QWl^drdiр » 0.

В более общем случае при х1 = const по тем же соображениям

AxW = 2 JJ QWl2drdQ + 2 JJ QWl3drdq> =0. (10.26)

Для произвольного контура, когда х1 Ф const, результат может оказаться отличным от нуля. Относительно простейших контуров «натуральный угол» однозначен. Действительно, при X1 = const имеем:

A^V^^o = <JJ HilWdxix =

11. Иваницкая О. С. i?i 2л 2я

=»I г cos е sin е de + j г sin Є cos фйф = 0, (10.27)

о о

о = A \dxx=dxz=dx*=Q = 0.

Неголономность эвклидова характера, имеющая место в (10.13), в данном случае отсутствует.

Аналогичный результат находим для Однако для про-

извольного контура в гиперповерхности (X1X4)

Дх<4) = - 2 J j fi^^xW = -2 j j QWikCdtdr =

= И 01 (~) c^dr ^ (I0-28)

Очевидно, (10.14) и (10.28) не совпадают, т. е. характер неголономности локального времени зависит от принятой калибровки тетрад.

*

Натуральный метрический тензор ga? для тетрад (10.23) трехмерен, но отличается от тензора ga?, взятого из (10.1). Действительно,

Iil = W^=A2=SrIi,

(10.29)

# * *

?зз = ?зз> gi2 = 0, gkk = Wnab = 0,

но

L = (Л2(1))2 + (W + (W = ^2 cos2 9 ф g22y gl3 = h^h^ + Лі(2)Л3(2) = 2ar sin2 0 cos ф sin ф ф g13,

(10.30)

L - № + л2(2)Л3(2) + А2(3)Л3(3) =

— 2r2 cos 0 sin 0 COS ф sin ф Ф g2V db= g^dxadx? = g^dxW. Таким образом, в случае «временной» калибровки тетрад

*

dl2Фdl2 и, следовательно, натуральная неэвклидова геометрия 3-подпространства отличается от неэвклидовой геометрии, порождаемой метрическим тензором (10.1).

От нормально-диагональных тетрад (10.3) можно перейти к тетрадам «временной» калибровки (10.23) следующим локальным лоренцевым преобразованием: sin 0 cos ф cos 0 cos ф —sin ф O

sin 0 sin ф cos 0 sin ф COS ф 0

cos0 — sin0 0 0

, 0 0 OL

(10.31)

т. е. преобразованием кругового вращения в 3-мерном подпространстве. Оно меняет ориентацию триады еа, входящей в состав тетрадных векторов Коль скоро тетрады (10.3) диагональны, это значит, что векторы еа при нормальной ка-
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed