Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Относительно локальной псевдодекартовой системы, т. е. после перелицовки, соотношения (10.57) принимают вид
дтУ'еі = - у (R'ehn + RtJeJ ~ дт (Л^А1), (10.58)
находящийся в соответствии с (10.51). Условие каноничности берет на себя роль калибровочных условий, но частично лишь в точке-полюсе (при соответствующих ограничениях — вдоль линии).
10.6. Связь эффектов красного смещения и отклонения светового луча в гравитационном поле с неголономностью орто-репера при временной калибровке. Поскольку объект неголономности при этой калибровке обращается в нуль, когда 0, естественно привлечь именно его для непосредственного описания релятивистских эффектов в поле тяготения.
Найдем дефект локального времени относительно контура ABCD или в силу статичности поля относительно контура EFDC (рис. 11), где T00=ABj T=CD — локальные (собственные) периоды. Согласно (10.23) и (10.24), получаем известное соотношение для красного смещения:
с (Т — Too) =E AxM = ф AliWdx*4 = 2 JJ QMilArdt ж
,10.59)
0 OO
Пусть а и ? — два бесконечно близких световых луча (рис. 12). При обходе по замкнутому контуру ABCD возникает дефект
170. Дл;(1) = ВС — AD, соответствующий в голономной системе непараллельности фронтов AB и CD, т. е. отклонению луча на угол
Ar(I)
= д XfVfdxS* + A *(1W2> = % + (10.60)
Рис. 11
Рис. 12
д/(4) = = дх(4) и Дх(1) вызваны
Дефекты Ах<1} . ы
і d/<4> і
соответственно неголономностью базисного вектора е(4) и неголо-номностью вектора е(1), всюду ориентированного вдоль луча:
Ax^ и 2Q<4>(4)(2)dx<4W2>; Дх*1) = 2QW(1>{2)dxWdx™. (10.61) 1 2 Подставим (10.61) в (10.60). Учитывая (10.23), (10.24) и соотношения
dx(i:> в = Mfi9 г = , 9 — — (10.62)
sin2 ф sin ф 2
и интегрируя вдоль луча а от — оо до + оо, находим:
л
= ^2 = m \ Sin ф^ф = , ij? = • (10.63)
Разбиение угла отклонения г|) на две части и Ip2 аналогично произведенному Эйнштейном в [1, стр. 503], где суммируются отклонения, вызванные соответственно компонентами потенциала g"44 и g22• Таким образом, во временной калибровке половина отклонения светового луча полем тяготения описывается неголономностью локального времени, компонентой й(4)(2)(4)* имеющей место, согласно (6.6), и в динамике СТО. Вторая же половина — следствие учета компоненты ?2^)(1)(2),связанной, согласно (3.70), с 2)(1)(2), т. е. с кривизной трехмерного пространства. Поэтому вторая половина эффекта—подтверждение наиболее фундаментального исходного положения теории тяготения Эйнштейна — искривленности под воздействием гравитационного поля собственно трехмерного пространства. Красное смещение, как видно из (10.59), вызвано неголономностью только времени. Обсуждение, в какой мере последний эффект является эффектом СТО или ОТО, имеется в [329, 330].
§ 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ,
СВЯЗАННЫЕ С ЛОКАЛЬНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ
ЛОРЕНЦА
11.1. Особенности шварцшильдовых тетрад. Шварцшильдова координатная система такова, что точки с координатами r0 = 2m* являются особыми точками метрического тензора:
Iim (?„= (1 - І^ГЧ = VftV4ft)<n> =
Г-+Г0 \ \ г
= L«\ryU"\syK'yhfy4k)M = оо, (11.1)
нш Ift4= fi-^Ua .
Г^Го
172. При нормальной калибровке тетрад находим h\W[r=r0 = Это не единственное возможное решение. Изменив на сфере Шварцшильда калибровку тетрад, чтобы коэффициенты лоренцева преобразования, соответствующего этой калибровке, имели особенности, можем сохранить для h\W конечные значения. Естественно, что для фактического использования такого своеобразного калибровочного условия следует перейти к другой системе координат. Известно, что особенности метрики Шварцшильда не инвариантны и зависят от выбора координатной системы [331, 332]. В работах [333, 334] найдены конкретные преобразования, устраняющие эти особенности. Они обсуждаются в [48, 232, 323, 335, 336].
Вернемся к тетрадным компонентам (10.3) и (10.6) и проанализируем их детальнее. В случае (10.3)
К%>гл = O1, Л4(4)Ur0 = — .
а,
у- f
aI = a\r>r„ = -F-= , а — - ' (11.2)
у а — 1 г0
VwUr. =-^, hp|r<f0 = — , а2 = . (11.3)
а2 у 1 — а
где CLx и а2 — вещественны. Тетрады (10.3) вне сферы Шварцшильда приводят к вещественным значениям неголономных псевдодекартовых координат, внутри — к мнимым. Это означает, что калибровочные условия (10.2) не могут выразить локальную справедливость СТО в точках под гравитационным радиусом. В случае калибровки (10.4) находим:
h^\r>r0 =Ial1 hp\r>r. = — > (11.4)
Ui
K%<r« = fl» A4W|r<r. = - — ¦ (11.5)
а2
Как уже указывалось в п. 10.1, тетрадные компоненты (10.6) с учетом (11.4) приводят вне сферы Шварцшильда к мнимым локальным псевдодекартовым координатам. Однако внутри сферы Шварцшильда локальные координаты, построенные с помощью тетрадных компонент (11.5), действительны. Следовательно, калибровочные условия (10.4) выражают в точках под гравитационным радиусом локальную справедливость СТО. Подсчитав с помощью тетрад (10.6)
173. е учетом (11.5) объекты неголономности, находим, что отличны от нуля следующие компоненты:
