Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
176. Однако исходным уравнениям (11.13), привлекаемым в [337], при некоторых ограничениях удовлетворяют любые допустимые координаты. Параметры вводимого локального лоренцева преобразования в принципе рассматриваются произвольными, что означает требование ковариантности теории относительно локального лоренцева преобразования. Таким образом, исходные позиции метода устранения особенностей тетрад с помощью локальных преобразований Лоренца могут быть подчинены двойной ковариантности.
Подчиним явно эти исходные позиции требованию двойной ковариантности, привлекая аналитический аппарат тетрадного представления эйнштейновой теории гравитации. Следовательно, исходными уравнениями примем (11.13). Это позволит лучше оценить постановку задачи, вскрыть общие основания тетрадного метода ее решения и наличие двух вариантов этого метода, позволит в общем виде сформулировать связь неголономности локальных систем с лоренцевым преобразованием.
Возможны два варианта тетрадного метода решения поставленной задачи с помощью уравнений (11.13). Первый вариант использует не все уравнения (11.13), а лишь те 6 из них, в которых содержатся 6 произвольно заданных преобразованных тетрад. Из шести отобранных уравнений можно найти искомые координаты с точностью до произвольных функций. Дальнейшее решение задачи состоит в подборе этих функций и контрольной проверке, действительно ли в найденных координатах метрика не содержит особенностей. Система (11.13) записана для любых координат и, очевидно, не все полученные решения и не всякий выбор произвольных функций приведут к устранению особенностей. Остальные уравне-нения системы (11.13) с 10 неизвестными преобразованными тетрадами остаются неиспользованными. В [337] принят этот вариант тетрадного метода.
Второй вариант, предлагаемый ниже, использует все уравнения системы (11.13) и обобщает на искривленное пространство метод разыскания «ускоренных координатных систем», рассмотренный в п. 6.5. До решения системы уравнений (11.13) составляются условия ее интегрируемости. В общем случае это 24 уравнения, связывающие 6 заданных тетрад ^V, 10 незаданных тетрад №У, исходные тетрады № k и коэффициенты локального лоренцева преобразования. Следовательно, условие интегрируемости системы (11.13)—это уравнения относительно неизвестных тетрад Wh'. Дальнейшее решение задачи состоит в таком совместном подборе локального лоренцева преобразования и произвольной калибровки тетрад /і^У, чтобы найденные из условий интегрируемости, как из дифференциальных уравнений, тетра-
12. Иваницкая О. С.
177 ды Wk' не содержали особенностей на сфере Шварцшильда. Тем самым находится и метрика, не содержащая особенностей. Подставив полученные значения тетрад в систему (11.13) и решив ее, найдем искомые координаты, в которых метрика не имеет особенностей. Ряд вопросов, связанных с переходом к локальным величинам, не требует знаний метрики и может быть рассмотрен сразу после отыскания тетрад. Таким образом, во втором варианте тетрадного метода отпадает необходимость в дополнительной контрольной проверке найденных координатных преобразований — выяснении, относятся ли они к устраняющим особенности в метрике.
Применение первого варианта тетрадного метода в [337] ограничено двухмерным подпространством (х\ х4). Для простоты ограничимся развитием второго варианта тетрадного метода при этом же ограничении, несущественном в принципиальном отношении.
Рассмотрим две области пространства вне и внутри сферы Шварцшильда раздельно. В области г>г0 для исходных тетрад воспользуемся калибровкой (10.2), приводящей к вещественным значениям тетрад (10.3). Тогда система (11.13) примет следующий вид:
у а —1
W
ч. ип дх1' . \а дх1'
X sh 0 г + ch 6
дх1 у а _ і дх*
= - PvI ^vAChei (11.15)
hvw = P11i -^--PV1She, (11.16) "і
Hiroy = Pill -^-PV1She. (11.17) "і
= +PV1ChG, (11.18)
TOev и k пробегают значения 1,4. Поэтому локальное лоренцево преобразование однопараметрическое. Следовательно, на четыре тетрады AjiV может быть произвольно наложено одно калибровочное условие.
В работе [337], согласно первому варианту тетрадного метода, решаются два уравнения этой системы—(11.15) и
178. (11.17). Уравнения (11.16) и (11.18) остаются неиспользованными, выбирается калибровочное условие
^'(4)- = 0. (11.19)
Тогда ограничение классом ортогональных систем выразится требованием
Л4'(і)' = 0. (11.20)
№сли трактовать (11.20) как калибровочное условие, то (11.19) будет условием координатным).
Перейдем ко второму варианту тетрадного метода. Система уравнений (11.15) — (11.18) распадается на две пары и имеет два условия интегрируемости:
^'41=0^4^ = 0, (11.21)
д{1Р*'4} = 0^4^=0. (11.22)
Пользуясь (11.15) и (11.16), представим первое условие интегрируемости в виде
д , a+lf, а ,4 t..
~да 1 2а~ 1 2(сГ^Т) ^ 0 1) +
. Hh arQ h -
* the da 1 (а — 1)th6 = /^(4,'. ^ft1V, e4Alf(4>-), (11.23)
где A1 = hl\iy9 A1 = S4A1, 6 = o40, ft — линейная функция от тетрады A1'(4г и ее производных. Для простоты ее явного громоздкого выражения выписывать не будем. Аналогично приходим ко второму условию интегрируемости:
