Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
d и а + 1 / a /П Л 14 , XU л 30 ,
ЛГ "аТ ^ ~ 2"F=T) (2г°0-1) + th 6 Ж ft^
= д^{1у9 а4А4'(1)'). (11.24)
Левые части уравнений (11.23) и (11.24) отличаются лишь коэффициентами, содержащими th Є; /2 — также линейная функция от тетрады ft4'о)' и ее производных. Одна из четырех тетрад, относительно которых записаны эти уравнения, произвольна. В частности, если принять калибровку (11.19), то
ft = 0. (11.25)
Тогда (11.23) — уравнение относительно лишь одной из тетрад. Устранение второй из незаданных тетрад из уравнения (11.24)может быть достигнуто, если ограничиться классом ортогональных координатных систем, т. е. если принять требование (11.20). Тогда
/, = 0. (11.26)
Т, 6
(Hi^ hjm^. (11.27)
Перейдем к области г<г0. Чтобы избежать мнимости исходных тетрад, изменим их калибровку. Это повлечет за собой и некоторое изменение частного вида системы уравнений (11.13). Приняв калибровку (10.5), т. е. использовав тетрады (11.11), вместо (11.15) — (11.18) находим:
<;Ь й
hvity = -Pvi + Pv4? ch Є, (11.28)
Hviiy= Pv1-^--PvlO2 sh0, (11.29)
aZ
Ww = Pvi —--PirlkO2Shе, (11.30)
A2
h*\iv = — Pvl + PirlCi2 che. (11.31)
Составив для этой системы условие интегрируемости (11.21), замечаем, что оно совпадает по форме с уравнением (11.23), но вместо Zi1 содержит IivW, вместо Д — функцию линейную относительно тетрады h}\\y и ее производных. Условие интегрируемости (11.22) совпадает по форме с уравнением (11.24), но вместо Zi4 содержит Л4'о)'> а вместо /2 — линейную функцию OTr носительно ft4'(4)' и ее производных. Выбор калибровочного условия в области г<Сг0 независим от калибровочного условия в области г > г0. Однако не всякое сочетание этих условий обеспечит сшивание тетрад на сфере Шварцшильда. Значения тетрад, найденных из условий интегрируемости вне- и внутри этой сферы, легко сшиваются, если в области г<.г0 принять калибровку
Wiiy = O (11.32)
и также ограничиться в этой области классом ортогональных координатных систем, т. е. принять
/I4V = O. (11.33)
Тогда
(Wi4y = Wiiy)r^0, (11.34)
а также
(Wiiy = WwUr0t (Ww = ^wUr0. (11.35)
180.Несмотря на то что калибровочные условия на тетрады ЬУ-'v уже приняты, параметр 6 локального лоренцева преобразования еще остается произвольным, поскольку остается произвольной координатная система (хВыбор параметра 0 означает поэтому условие на выбор координатной системы. Поэтому следующий этап задачи — анализ условий интегрируемости. Он может подсказать такой выбор параметра G, при котором решениями условий интегрируемости будут тетрады h}1'k>, не имеющие особенностей на сфере Шварцшильда. Тем самым находится и метрический тензор без особенностей. Чтобы найти соответствующие ему координаты Xv и х4' как функции X1 и X4, следует решить системы-уравнений (11.15) — (11.18) и (11.28) — (11.31). Так как эти системы состоят из четырех уравнений, решения получаются с точностью до произвольных постоянных. Поскольку сшивание решений на сфере Шварцшильда достигнуто, достаточно решения одной из систем. Причиной возможной расходимости тетрад, удовлетворяющих условиям интегрируемости (11.23) и (11.24), является множитель 1/(а—1), имеющий особенность на сфере Шварцшильда. Подбором параметра 6 следует устранить эту особенность. Далее продемонстрируем подбор параметра локального лоренцева преобразования в условиях интегрируемости на частных примерах.
Итак, роль компонент hvw и №\А)> в описании поля тяготения при г>г0 с переходом внутрь сферы Шварцшильда передается компонентам Zi1Vr и Это влечет за собой две возможности выбора сигнатуры внутри сферы, если она фиксирована вовне. Действительно, при г>г0
g1'1' VyilWVY9 g*'*' = (11.36)
При г<г0
gvv = h>\Ayh>\Ay ^y, = (11.37)
Следовательно, поскольку тетрады вещественны, если принять сигнатуру r\kn одинаковой во всем пространстве, то переход внутрь сферы изменит сигнатуру Наоборот, чтобы сохранить сигнатуру во всем пространстве, нужно с переходом внутрь сферы Шварцшильда изменить сигнатуру r\kn. В зависимости от этого роль потенциала, соответствующего притяжению во всем пространстве, будут играть или тетрады k>, или метрический тензор Хак как эксперимент локален, а выбор координатной системы остается в значительной степени произвольным, это говорит в пользу трактовки тетрад как гравитационного потенциала.
11.3. Выбор лоренцева параметра, приводящий к крускало-вым координатам. Проанализируем те коэффициенты в условиях интегрируемости (11.23)—(11.24) при неизвестных тетрадЪх и их
181.производных, которые содержат множитель 1/(а-^1). Таких коэффициентов два. В одном из них, а именно в ^^^^ X
X (2го0—1) подбором параметра 0 можно устранить особенность, вносимую множителем 1/(а—1). В частности, подбором O можно обратить в нуль этот коэффициент. Во втором коэффициенте, а именно в аг0/(а— l)th0, подбором 0 нельзя ни устранить особенность, даваемую множителем 1/(а—1), ни обратить этот коэффициент в нуль. В частности, можно избавиться от членов с обсуждаемыми коэффициентами, приравняв эти члены друг другу. Тогда условие интегрируемости (11.23) (с учетом (11.25)) разобьется на систему двух уравнений: