Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Метрическому тензору (10.1) соответствуют символы Кристоффеля:
Tm = diag(a26, г, г sin2 9, 6/a2), T132 = — г sin2 9, T232 = г2 sin 9 cos 0, Г312 = г sin2 9, Г322 = — ^2 sin 9 cos 9, (10.8)
гізз = F223 = r2sin 9 cos 9, T313 = г, г — б г» __ Ь и — ^a _ —ka2 т
144 1 414 — Г > 0--^---Г~ '
а2 а2 адг с2 г2
Из (10.3), (10.8) и (3.58) находим следующие компоненты коэффициентов вращения Риччи [318]:
п 1
Yftml = U> Y(i)(2>2 --->
а
sin 9 л Y(DO)3 =--> Y(2)(3)3 = — cos 9, (10.9)
Y(1)(4)4 =
Из (10.9) вытекает:
^(2)(1)(2) — fl(3)(i)(3) =----> ?(2)12 =--у
2 ar 2
Цз)(2)(з) = - ctg 9/2г, (10.10)
о Ь Ь —т*а
^,(0(4) = -—. Q( =^- =-^r--
Отсюда следует, что чисто пространственные компоненты объектов неголономности u(2)(i)(2) и й(з)(1)(з) зависят от массы и содержат релятивистские поправки. Пространственно-временная компонента ?2(4)<i)(4) также отлична от нуля и пропорциональна гравитирующей массе. Пока тфО, все компоненты объекта неголономности сразу могут быть устранены только в отдельных точках, но не во всем пространстве.
156. В присутствии гравитирующей массы дифференциал локального времени не является полным аналогично тому, как это имело место в динамике СТО. Сравним компоненты объекта неголономности (6.4) и (10.10), положив, что обобщение лоренцева преобразования на зависимость от времени вызвано полем тяготения. Как указывалось выше, подсчет вращения перигелия Меркурия по законам динамики СТО [321] дает 1/6 от 43". При вычислении вращения перигелия Меркурия в ОТО его поперечная масса явно не вводится, т. е. ее учет производится в иной форме. Действительно, сравнение компоненты ?2(4)м в (10.10) и (6.4) показывает, что с точностью до членов vA/cA~m*A/cA они совпадают. Следовательно, в ОТО зависимость массы от скорости, как отмечено в [232 стр. 354], имеет свой двойник. Она уже учтена в уравнениях гравитационного поля, которые приводят к следующему двойнику «мировой силы тяготения Минковского»:
F1 = =^, Fimhhk = /ЛЛ = =^ . (10.11)
T T
Предельный переход от ОТО к динамике СТО требует, чтобы в пределе осталась зависимость массы от скорости, но устранилась кривизна 4-пространства. Одновременно этого нельзя сделать. Действительно, чтобы в пределе не исчезла зависимость массы от скорости, нужно приближенно сохранить компоненту объекта неголономности Q(4)14, Т. е. учесть коэффициент а = (1—2 т*/г)—1/2 с точностью до членов т*4/с4. Однако чтобы в пределе трехмерное пространство стало плоским, нужно воспользоваться критерием Это переводит трехмерные компоненты объекта неголономности '(IOilO) в таковые для сферической системы координат в плоском пространстве. Таким образом, не существует общего, последовательного критерия для предельного перехода от ОТО к динамике СТО, тогда как общий критерий предельного перехода от ОТО к ньютоновой теории тяготения имеет место.
В зависимости от принятой калибровки тетрад дифференциалы некоторых локальных координат могут оказаться полными. Согласно (10.10), Q(1^v=0. Следовательно, вне сферы Шварцшильда при калибровке (10.3) первая, радиальная координата локальных псевдодекартовых систем голономна. При любых [inv имеем
ДХ<1) = ^ HVdxlx = JJ (0Д,(1) - ovy D) dx4x* =
= - 2 J J QWll^dxv = 0. (10.12)
Вторая координата («физический угол») неголономна, но ее неголономность носит «эвклидов характер» — при обходе по
157. замкнутому контуру получаем эвклидово значение длины окружности:
2Я
Дх(2) = Ф h^dx* = J A2Wrfe = 2 JJ QW2idQdr =2яг. (10.13)
о
Аналогичные свойства и у третьей локальной координаты (второго угла). Однако неголономность временной локальной координаты («физического времени») зависит от гравитирую-щей массы:
д*(4) = ^ HllWdxlx =2 JJ QV^drcdt = = — JJ dyh^cdtdr ф 0, х<4> = J h^dx* ф х4, (10.14)
т. е. координатное время в принятой выше голономной системе координат не совпадает с собственным, неголономным временем.
Натуральный метрический тензор, соответствующий тег-радам (10.3), трехмерен. Он совпадает с трехмерными компонентами шварцшильдова метрического тензора (10.1), а элемент натурального времени — с координатным:
^apdef = Ка\\аЪ = К\»X]kn = , L = КаК\аь = 0, d7 = h\k)dx&,
(10.15)
rf> = dl2 = g4dxadx* = g^dxV = T\abdxadxK
Выполнив над (10.1) координатное преобразование, рассмотренное в [322]:
і
/ 2т* YT
dx* = rfx4 ± agdx\ g = і-у- I , (10.16)
приходим к недиагональному g^, и соответствующим ему нор" мальным тетрадам:
10 0 ±g 0 г2 0 0 0 0 T2Sin2O 0 >±g 0 0 —а
K-k =
га 0 0 + ag\ OrO 0 0 0 г sin 9 0
ч0 0 0 1 /а
(10.17)
158 При этом трехмерные компоненты ^a,упрощаются, приобретая эвклидов вид, но натуральный метрический тензор услож-
* * *
няется, становится четырехмерным: gvv =g2, ea2» 4> =g-В случае (10.3) натуральная связность, рассмотренная в [53,287], совпадает с соответствующей кристоффелевой связностью:
Y122 = /I1(DWc2)2 = —^r = V1V2ZA2),
* 1 * Y2I2 = —. Y22I = 0,
г
T122 = Y122=T122, (10.18)
T22I = Г\ = h\dAa = Y2I2 = T2211
