Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
/ 1
р ,v _
M-
0
0 J_
я2
0
thctf 0
0 0 0 \ 1 0 0 1 0
0 1
(10.47)
J
аналогичное по структуре преобразованию к «вращающейся системе координат» в теории релятивистского вращения. Тогда
/а ch at 0 0 — ash a*
OrO О
0 0 г sin 6 0 0 0 0 l/a chat
(10.48)
167 После координатного преобразования (10.47), нормализующего тетрады, натуральный метрический тензор становится трехмерным:
L= WfHab = O. (10.49)
Сопоставляя характер неголономности локальных псевдодекартовых координат для вышерассмотренных случаев калибровок, видим, что наименее неголономными являются локальные координаты, принадлежащие нормальной калибровке, приводящей к диагональным тетрадам. Становятся очевидными причины популярности и удобства диагональных тетрад: голономность «натурального радиуса» и несущественный, «эвклидов характер» неголономности угла сочетается с совпадением характеристик неэвклидовости геометрии 3-подпространства в 3-мерной локальной и 3-мерной глобальной координатных системах. Во всех рассмотренных калибровках имеет место неголономность временной локальной координаты в гиперповерхности (X1X4).
Самосіоятельный интерес представляет привлечение компонент объектов неголономности вида Q(4)m к рассмотрению «парадокса близнецов» в гравитационном поле.
Если принять реперное определение системы отсчета, то вычисленные для разных калибровок соа(4> дают некоторое представление о характере этих систем, в частности, о взаимном движении ее бесконечно близких элементов.
10.5. Реперное задание системы отсчета посредством нормальной системы координат. Аналитически задание такой координатной системы по определению состоит в требовании, чтобы 40 производных dag^v обратились в нуль в рассматриваемой точке (полюсе нормальной системы координат). Тогда
r\v = 0, Z^ollv ^Of (10.50)
поскольку вторые производные ОТ gjxv по ха остаются отличными от нуля. Обращая в нуль первые производные, можно при помощи линейного преобразования придать величинам g"jxv галилеевские значения щп. «Полученные так координаты называются естественными координатами в данной точке. О величинах, отнесенных к этим координатам, говорят, что они выражены в естественной мере. Совершая преобразование Лоренца (оставляющее систему координат естественной системой), мы можем получить систему, относительно которой материя, находящаяся в данной точке, или наблюдатель, который, согласно нашему предположению, помещен в этой точке со своими измерительными приборами, будут находится в покое. В этом случае естественная мера принимает более частный вид собственной меры» [327]. Тогда в полюсе
168. связь между символами Кристоффеля и коэффициентами вращения Риччи, задаваемая (3.58), примет вид:
Yfcnv-W^n.
(10.51)
Поскольку кфп, тензориальные компоненты этих коэффициентов лишь частично совпадают с коэффициентами связности абсолютного параллелизма.
Условие нормальности координатной системы, т. е.
да ft« = V0Afc + KkdoKk = 0, (10.52)
не требует равенства нулю производных от тетрад. Поэтому, вообще говоря, укпк, удовлетворяющие (10.51), отличны от нуля и могут быть подчинены различным калибровкам тетрад. Естественно, что калибровочные условия должны быть совместны с требованием (10.52). В частности, если метрический тензор и тетрады диагональны, то из (10.52) следует
W = Yfenb = 0. (10.53)
Тогда в силу антисимметрии коэффициентов вращения Риччи по двум первым индексам для диагональных тетрад в рассматриваемой точке Р-полюсе имеем:
(Vkn>)p =0, (COftn)p = у кпь<№ = 0,
(10.54)
(^fernn)p = 0,
поэтому объекты неголономности в ОТО сводимы к нулю лишь в точке (или на линии), а не во всем пространстве.
Из (10.50) Шддо, что в полюсе нормальной системы координат тензор Римана — Кристоффеля упрощается:
RlXVbO = 2O?X ГI JUlVl CFj - (10.55)
При вычислении локально-глобальных компонент Rknixv следует пользоваться не непосредственно выражением (10.51), а более полным:
^iYfenv = + h\d Jiyin] =
= h\h\d»Y%ov + [h\dvhKn], (10.56)
в котором член, содержащий I\av = 0 под знаком частной производной, сохранен. Таким образом, вне полюса криволинейной локально-геодезической системы тетрады Hk не совпадают с обобщенными лоренцевыми преобразованиями и могут быть найдены из 10 уравнений (2.8), дополненных 6 калибровочными условиями. В полюсе локально-геодезической системы эти 10 уравнений для тетрад принимают вид r\k,n, = LkZLn;sTjrs, т. е. в полюсе тетрады становятся обобщенными лоренцевыми преобразованиями. Чтобы из бесчисленного множества локально-геодезических систем фиксировать некоторую определенную, нужно уточнить 6 параметров лоренцева преобразования Lvr, т. е. задать в полюсе определенные калибровочные условия.
Из локально-геодезических систем могут быть выделены системы канонические [327], для которых
Wv = - ~ (ReW + R\»o), IV = (10-57)
В [328] нормальные координаты и двухточечные тензоры использованы для анализа общего принципа относительности, который вводится вместе с привилегированными координатами.
