Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два многообразия M vi N принадлежат одному и тому же гомотопическому типу (гомотопически эквивалентны), если существуют отображения ф : M -> N и я|) : N ->- M, такие, что сложные отображения г|) ° ф : : M -> M и ф о ty : N -+ N гомотопны соответственно тождественным отображениям 1 : M M и 1 N N.
Вскоре мы докажем, что ф# зависит только от гомотопического класса, к которому принадлежит ф, т. е.
1J Поскольку конечные точки 0, 1 g I не имеют окрестностей на I, гомеоморфных открытому множеству действительной оси E1, то ни I, ни / X M не есть многообразие. Они представляют собой примеры многообразий с границами.
17* 244
Статья 7. Ч. M и г н е р
что ф# не изменяется, если ф заменить отображением, . гомотопным ф. Используя этот результат, мы видим, что для гомотопически эквивалентных пространств (определенных выше) ф# о = (ф о ф)# = 1 и о ф# = = (фо ф)# = 1, так что ф# и есть взаимно обратные изоморфизмы, и мы можем установить теорему гомотопической инвариантности:
ТЕОРЕМА. Если M ViN гомотопически эквивалентны, то Hp (M) и Hv (N) изоморфны.
Решающее утверждение здесь, в большей своей части, доказывается одинаково во всех теориях когомологий: именно, гомотопия h между двумя отображениями ф,
M N используется для определения цепной гомо-топии, именно множества отображений SL : pv (M)
Pр+1 (N), обладающих характеристическим свойством
сШ = ф*—ф* —3d. (6.14)
Теперь нужно доказать утверждение, формулируемое ниже, разбивая доказательство на две леммы.
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если отображения ф, Ф : M N гомотопны, то они индуцируют одинаковое отображение ф# = : Hp (M) Hv (N).
ЛЕММА 1. Если отображения ф, : M -> N гомотопны, то существуют отображения
3: Pv(M) pv+i(N), (6.15)
удовлетворяющие уравнению (6.14).
ЛЕММА 2. Если два множества отображений ф *, "Ф* '-Pp (M) ^-Pp (N) связаны свойством (6.14), то ф# = \|з#.
Утверждение очевидным образом вытекает из лемм, но было бы грешно перейти к ним, не отметив исключительной элегантности этого доказательства. Оно могло бы показаться, конечно, даже более замечательным, если бы и другие стандартные доказательства основных моментов теории гомологий не приобрели известной грациозности и силы после почти векового развития. Содержание утверждения действительно необычно, поскольку оно означает, что чисто алгебраическое соотношение (6.14) оказывается довольно удовлетворительным переводом того Дифференциальная геометрия и топология
245
глубоко геометрического суждения, что, скажем, два погружения не очень сильно различаются, если они связаны гомотопией [уравнения (6.12) и (6.13)].
Мы подготовимся к доказательству леммы 2, проверив, что уравнение (6.14) совместно со свойством d2 = 0. Имеем:
d (йШ)) = йф *—dij) * — d3d = гіф * — гіф « —
— (ф *—і|з ¦ — Shd) d = (dq> *— ф *d) — (гіф*—гр* d) = 0. .
Здесь существенную роль сыграла коммутативность диаграммы (6.7). Теперь допустим, что a ^ Zp^1 (N) принадлежит гомологическому классу [а] ? Hp+1 (N), и подвергнем а операции (6.14). Поскольку da = 0, мы видим, что ф*а — і]р*а = d3 а,
или ф*а ~ ф«а, или [ф*а] = [ij>*a] ^ #*>+1 (M), или, наконец, ф#[а] = т|з# [а], что и требовалось доказать.
Пока все эти доказательства, ведущие к теореме гомотопической инвариантности, были чисто алгебраическими.
Лемма 1 как раз и есть тот момент доказательства, когда дифференциальную геометрию нужно переложить на язык алгебры, а это делается по-разному в различных теориях когомологий. Однако задача столь четко сформулирована, что не представляет труда ее решить. Мы знаем, что 3) есть отображение <fv (M) <— (N) и что оно должно быть каким-то образом получено из гомотопии h:I X M —>¦N. Первое приходящее на ум отображение — это Hif : (I X М) <— ^rj4-I (N); вопрос заключается в том, как, задавшись h*а на / X М, можно
а) свести эту (р + 1)-форму к р-форме и
б) спроектировать форму, заданную на / X М, в форму на M? Ответ на а без труда дает свертывание, так как на IXM существует естественное векторное поле dldt, определяемое структурой произведения IxM и касательное к каждому слою I X {х} er / X М. В координатах tx{ это свертывание имеет просто вид
«?ioii.. - ip» € J^p+i (I X M) ->«?ou.. .ip» Є (I X M).
Более общее определение для свертывания любой (р +1)-формы у с векторным полем V—следующее:
(у, у) = Viy4hk... h) dxh Д ... Д dxh. (6.16) 246
Статья 7. Ч. M и г н е р
Таким образом, мы получили р-форму
/ д u \
\W h*a/'
но пока только на I х М. Естественное проектирование я : J X M —> M : (t, х) —> х
не поможет свести ее на М, поскольку оно индуцирует отображения п*:рр(1 (M), действующие
в неправильном направлении: Поэтому мы рассмотрим отображения вложения
х). (6.17)
Для каждой (р + 1)-формы а на N они дают полное семейство р-форм на М:
/ д и \
і4'Kir- н*а/-
Вместо того чтобы выбирать какую-либо одну из них, мы возьмем среднее, определив его как
1
За = J dt\it*(X, h*a). (6.18)
0
Чтобы доказать лемму 1 при таком определении отображения 3, мы должны вычислить d 3 а и убедиться в справедливости уравнения (6.14). Первый шаг, при котором мы воспользуемся только линейностью d и перестановочным соотношением d\i* = fx * d, состоит поэтому в следующем:
