Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
1
d3a= J dtpt*d(X , h* а^ . (6.19)
о
Теперь нужно знать, как вычислить
\ at ' ^ /
для (p-f 1)-Ф°РМЫ ?p+1 на IxM. Используя локальные координаты Zi = (t, xk) и разложение
P = Pd.ii.. .*р> dz^ Л dzh Л • • Л dzh' Дифференциальная геометрия и топология
247
мы получаем
\Ж ' Р/ = Pocfei.. Л .. . Д rf®4
так что
dHt' Pzaa dhiHdthp) dt[\dx^[\... r^dx^ +
+ dxi д dx H1 д ... д dxhp. (6.20)
dx1
Для сравнения вычислим ri?:
ri? = M гід» д dt Д dirfci Д .. . Д ria^p +
+ dt Д Д ... Д d®*j> +
-f f.pWi.--fcp) гіж1 Д da*> Д ... Д ria;"p, dx1
так что
(jX, ri?) = -,fep) dxl A ^ftl A • • • A da;ftp +
+ ^o Д ... Д ria;fep.
Таким образом, записываем
9Po(feyftp) * Nd* N ... A^ftp-- Qr , ri?) + rix*» Д . .. Д da*p. (6.21)
Последний член здесь равен <9 (fx* * ?)/d?, а первый член отобразится в нуль под действием fxt *, поскольку ji(*d?=0. Мы имеем, следовательно,
і
ri,2ap+1 = J dt Jf (fit * h * ар+1) —
о
і
- J dt\Kt * h * гіар+1) =
о
= (X1 */г*ар+1—JX0*h* ар+1— 3)dap+\ 248
Статья 7. Ч. M и г н е р
Но так как h о Jx1 = ср и h ° [л0 = гр, то это дает
dЗа?+1 = ф * ар+1 -гр* ар+1 - 3) daр+\ (6.22) что и требовалось доказать.
Вычисления когомологий
Как мы отмечали выше, на га-мерном многообразии не существует неисчезающих форм порядка (п + 1) и выше, поэтому не существует также и замкнутых форм высоких порядков, откуда вытекает следующий результат.
Если M есть га-мерное многообразие, то для р > га
Hp (M) = O. (6.23)
Легко также вычислить группу H0 (M) для любого многообразия. Действительно, предположим, что / ? Z0 (M), т. е. пусть/—функция, удовлетворяющая условию df = 0. Тогда в любых двух точках, соединенных кривой с : /->- М, функция / имеет одно и то же значение, ибо
0 = \df = f[c (1)]-/[с(0)].
с
В частности, если M — связное многообразие, то
H0(M) = R, (6.24)
где R — одномерное векторное пространство действительных чисел. Если M состоит из I связных- компонент, то H0 (M) = R1 есть Z-мерное векторное пространство. Базис для H0 в этом случае состоит из дифференцируемых функций Ij (] = 1, 2, . . ., I), определяемых как fj (х) = 1, если х находится в /-й связной компоненте многообразия М, и fj (х) = 0 на других компонентах.
Взятые вместе, результаты (6.23) и (6.24) дают все группы когомологий нульмерного многообразия {р}, состоящего из отдельной точки р. Это очень полезное замечание, потому что отображение
h:IxEn->En:(t,x)-^tx (6.25)
есть дифференцируемая гомотопия между тождественным отображением En En и отображением En En, Дифференциальная геометрия и топология
249
при котором X -> 0. Поэтому ф : En ->- {/>} : х -> р и ¦ф : {р} En : р ->• 0 представляют собой пару отображений, показывающих, что En и {р} гомотопически эквивалентны, и поэтому имеют изоморфные группы когомологий. Мы доказали таким образом следующую лемму:
ЛЕММА ПУАНКАРЕ. Группы когомологий де Рама для En есть
H0(En) = R, Hp(En) = O (р> 0). (6.26)
Это, как известно, весьма сильная теорема. Она гласит, что каждый р-коцикл гомологичен нулю (р > 0), т. е. если а — любое дифференцируемое поле р-форм на En, удовлетворяющей условию da, = 0, то а = ri?, где ? — некоторое дифференцируемое поле (р — 1)-форм.
Элементарное рассуждение типа того, с помощью которого в механике выясняют, когда силу F = F1 dx1 можно получить из потенциала F = — dV, достаточно для вычисления групп Hv (Я1), среди которых только группа H1 (S1) не задается уравнениями (6.23) или (6.24). Пусть ф (заданное по модулю 2я) рассматривается как координата на S1. Тогда если F есть некоторая 1-форма на
S1, F = /гіф, то можно попытаться определить
ф
о
Если ^ F = 0, то V дифференцируемо и F = — dV. В противном случае положим
a= = 1
tj) Лр 2я д
откуда будет следовать
^ (/—а гіф) = 0,
так что F = агіф — dV для некоторого V. Таким образом, каждая 1-форма F на S1 гомологична (постоянному) множителю при гіф, т. е.
H1(S1) = R.
(6.27) 250
Статья 7. Ч. M и г н е р
Этот результат можно в свою очередь обобщить с помощью теоремы гомотопической инвариантности на другие многообразия. Рассмотрим несколько подобных соотношений между многообразиями.
Полупрямую {t ? E1 I t > 0} можно диффеоморфно отобразить на прямую E1 отображением t ->- Inf. Поэтому же любое полупространство (х ? En \ х1 > 0} имеет дифференцируемую структуру, изоморфную структуре En.
(6.28)
(6.29)
Эти пространства поэтому гомотопически эквивалентны точке {р}. Евклидово 3-пространство с вынутой осью z в цилиндрических координатах z, q, ср представляет собой, очевидно, произведение полуплоскости (z, Q > 0) на окружность S1 с координатой ср. Оно поэтому гомотопически эквивалентно окружности S1, так что на этом многообразии всякая замкнутая форма а степени 2 или 3 является точной а = ri?. Ясно, что любое евклидово пространство En с вынутой (п — 2)-мерной осью вращения x1 = x2 = 0 имеет опять те же самые группы когомо-логий, как и S1, так что неточными могут оказаться замкнутые форьЛд только степеней 0 и 1.
