Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность групп и гомоморфизмов
фп-1 Фи
^ Gn^JLi опЛ Gn^ (7.12)
называется точной тогда и только тогда, когда для каждого п образ фл-і есть ядро ф„ (или, что эквивалентно, последовательность есть коцепной комплекс, ф2 = 0, группы когомологий которого исчезают).
Доказательство теоремы точности предоставляется читателю в качестве упражнения. Мы будем использовать точность для вычисления групп когомологий сфер. Простейшие применения точных последовательностей заключаются в следующем:
1) точность последовательности
0 —» Gn —> Gn+1
означает, что отображение фл взаимно однозначно;
2) точность последовательности
фп
Gn —» Gn+i —» 0
означает, что ф„ отображает Gn на Gn+i. Комбинируя 1 и 2, найдем, что из точности последовательности
0 —> Gn Gn+1 —> 0
вытекает, что отображение ф„ есть изоморфизм.
Другое основное положение различных теорий когомологий, которому, как мы можем проверить, удовлетворяет теория де Рама, состоит в следующем.
Теорема вырезания. Если U — открытое подмногообразие многообразия X, замыкание которого содержится во Дифференциальная геометрия и топология 261
внутренности многообразия А, то отображение вложения e:{X—U, А—І7) —^(Х, А)
индуцирует между соответствующими группами изоморфизмы
: Hp (X —U, A — U) —> Hp (X, А). (7.13)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть a g ер р (X — U, А — U). Тогда, поскольку а исчезает на А — U, можно расширить а до дифференцируемой формы a g д?р (X, А), если определить ее так, чтобы расширенная форма а равнялась нулю на А. Это дает отображение
&P(X-U, A-U)-+ ^Р(Х, А),
которое индуцирует отображение
Hv (Х-U, А - U) Hp (X, А),
обратное отображению е#.
Теперь мы убедились, что теория когомологий де Рама удовлетворяет всем аксиомам Эйленберга — Стинрода.
Когомология сфер
Разложим n-сферу Sn на три множества, которые мы обозначим при помощи гомотопически эквивалентных пространств: верхний колпак
« {x6Snc?n+1 |хп+1>-1}, (7.14) нижний колпак
El « {хб?пК+1<у}
и экватор Множество
^= {хе Л <-!} 262
Статья 7. Ч. M и г н е р
может быть «вырезано» согласно
(Sn-U, El-U) = (En+, Sn^i) —> (Sn, ErL), чтобы получить изоморфизы
е# : Hv (Sn, EtL) « Hp (E7I, Sn-1). (7.15)
Эти изоморфизмы связывают две точные относительные когомологические последовательности согласно диаграмме О Л О
il при р>0 ii
Hp (ETi) Hp (Sn) ЛНр+1 (ETSn) Нр+1 (ETi)
HP(E*L+1) —> Яр+1 (Sn+1, ET') Нр+1 (?п+ 4) -> Яр+ '(JEl+').
о о
(7.16)
Из уравнения (6.26), показывающего, какие группы евклидова пространства исчезают, вытекает, что выделенные отображения являются изоморфизмами. Таким образом, получаем изоморфизм
Hp (Sn) « Hp+1 (Sn+1) (р> 1). (7.17)
Используя, этот изоморфизм, мы вычислим все группы Hp (Sn), выражая их через полученные ранее. На основании H1(S1) = R [см. (6.27)] находим, что
Hn(Sn) = R (п> 1), (7.18)
тогда как из уравнения (6.30), т. е. из H1(SO) = O (q>2),
получим, что
Hp(S^1) = O (p>i, q-1>1), или, что то же,
Hp(Sn) = O (1 <р</г-1). (7.19)
Конечно, мы уже знали, что Hp+n(Sn) = 0 (р > 1) и что H0 (Sn)= R (п > 1). [Заметим, что 5° состоит из двух точек Xi = ±1, поэтому H0 (S0) = R2.] Теперь же мы получили все гомотопические группы сфер. Дифференциальная геометрия и топология 263
КЛЕТКИ. Кограничный изоморфизм б в последовательности
О -> Я"-1 (5n_1) Д Hn (El, Sn'1) -» 0, (7.20)
взятой из верхней линии диаграммы (7.16), отображает любой генератор а"-1 одномерного векторного пространства Я"-1 (Sn'1) на генератор ап = бо"-1 пространства Я™ (Е^, Sn'1). В этом простейшем разложении на клетки он описывает, как граница Sn'1 прикреплена к клетке (E1I, Sn"1). Кограничный оператор б в теории клеточных гомологий получается из этой модели при помощи отображений, описывающих вложение в X всех клеток разложения пространства X.
КОЛЬЦО КОГОМОЛОГИЙ. Внешнее произведение Д, определенное на формах, порождает произведение U , определенное на когомологических классах. Оно, по определению, для [ар] G P (I, А) и А) дает
[«*>] U т = (X, А). (7.21)
Правило произведений (4.18) показывает, что это произведение полностью определено. Оно, конечно, сохраняется при всех гомоморфизмах <р#, индуцируемых отображениями (7.6).
Дальнейшие ссылки
Для более глубокого ознакомления с алгебраической топологией смотрите книгу Эйленберга и Стинрода [8]. Категориям и функторам, аксиомам и различным приложениям посвящена в ней последняя глава. Важны общие конструкции, получаемые из аксиом, такие, как последовательности Майера — Витора. Симплексы, как линейные, так и сингулярные, можно обойти. Гораздо предпочтительнее кубическая сингулярная теория ввиду двойственности когомологии де Рама, связей с теорией гомо-топий и, кроме того, как первый пример теории с целыми коэффициентами. Крайне важен вывод клеточной теории из аксиом: именно этим путем доказывается тот факт, что все теории согласуются на многих пространствах. Теория Чеха важна, поскольку она допускает связь с анализом 264
