Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
ФZBp(M)*-ZBp(N),
(3.27) 15* 228
Статья 7. Ч. Muanep
которое определяется требованием, чтобы тензорное произведение было естественной операцией, например
ф* (а ® Р) = (ф*а) О (<p,?). (3.28)
Таким образом, определение отображения ф * для ?OP сводится к установлению этого отображения для Зіч которое, по определению, есть отображение ф* пространства Ti (X) для каждой точки х. Это точечное определение отображения ф* для полей возможно только потому, что при определении (ф * а)х существует единственная точка (рх ? N, в которой и берется значение определяющего поля а. Напротив, отображение ф* : T1 (х) -> T1 (ух), как правило, нельзя продолжить до отображения пространства З1 (M), так как для каждой точки х ? M существует вектор ф* V (^T1 (у), удовлетворяющий уравнению фа; = у. Таким образом, отображение ф * : З1 (M)
З1 (фМ) мы могли бы определить только тогда, когда отображение ф одно-однозначно. Но даже и в зтом случае ф (M) должно было бы представлять собой подмногообразие многообразия N (если мы хотим получить определенные на нем дифференцируемые векторные поля З1 [ф (M)]). Это означает, что дополнительно к условию одно-однозначности нужно потребовать, чтобы ф было регулярным. (Доказательство этого факта мы опустим, как и определение подмногообразия; см. по этому поводу книгу Аусландера и Маккензи [2].)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение ф : M N регулярно в точке X ? М, если и только если индуцированное отображение dq>x = ф* : T1 (M) T1 (N) одно-однозначно.'Если ф регулярно в каждой точке, то оно регулярно. Регулярное одно-однозначное отображение имеет определённое на ф (M) дифференцируемое обращение ф-1, так как в локальных координатах d<px представляется матрицей и регулярность означает, что эта матрица имеет наибольший ранг в соответствии с известной теоремой о неявных функциях. Несмотря на существование этого обратного отображения ф-1, никакое отображение вида 7? (х) ч— <г— T1n (фа;) не определено, поскольку не существует какого-либо естественного способа проектирования пространства Tjv (фя) на его подпространство 7ф(М) (фя), Дифференциальная геометрия и топология
229
если только они не совпадают тождественно; в этом же последнем случае ф (M) = N. (При добавлении римано-вой метрики к дифференциальной структуре на N подобное проектирование, конечно, можно было бы определить. Но тогда и все тензоры можно отождествить с кова-риантными тензорами и достаточно было бы отображения ф*. Важным и полезным является, однако, специальный случай, когда отображение ф : M N одно-однозначно и регулярно (погружение), а V — такое векторное поле на N, для которого в каждой точке х подмногообразия ф (M) CZ N можно показать, что оно лежит в Т\(м) (х), и, следовательно, нет нужды в каком-либо проектировании. Тогда (ф_1)*у есть векторное поле на М. Подобным образом, например, поля iLk [см. уравнения (2.28)], определенные на E3, порождают поля касательных векторов на S2 при включении S2 -+E3. Эта операция, очевидно, и вызвала появление термина «касательный вектор». Индуцированное отображение для смешанных тензоров в точке может быть определено, только если d(px одно-однозначно и имеет характер «отображения на», т. е. только если для него существует обращение на T1 (фа;); некоторая трудность, конечно, сопряжена с тем, что ковариантные и контравариантные тензоры отображают, естественно, в различных направлениях.
Производная Ли
Задавшись векторным полем и на М, можно на этом многообразии определить производную Ли
Xu: З1 (M)З1 (M). Правило для произведений
Xu (fy) = (Xuf) V + fXu-v, (3.29)
где
Xuf = u[f], (3.30)
легко проверяется при помощи (2.39). Другие очевидные правила для произведений, такие, как
Xu (О, V) = (Хио, У)+ (а, хи\) (3.31) 230
Статья 7. Ч. M и г н е р
и
Xu (VIg) W) = (XuV) (8) W + V (8) (3.32)
обобщают определение до
Xu : Э>\ (M) 3)\ (M).
Это аналитическое определение Xu эквивалентно геометрическому вроде (2.38), так как на каждой достаточно малой окрестности U любой точки х поле и определяет отображения
etu:U—> etuU : х —> etax
для всех достаточно малых t. Эти отображения одно-однозначны и обратимы, поэтому индуцируют отображения всех тензорных полей. Поскольку тензорное произведение есть естественная операция (т. е. коммутирует с этими индуцированными отображениями), то правила для произведений будут следовать и из этого альтернативного определения. Очевидно, что производную Ли можно определить для любого типа полей, если только индуцированные отображения определены по крайней мере для всех обратимых ф.
IV. Внешние дифференциальные формы
Опираясь на операцию тензорного произведения, можно определить другое произведение двух векторов
aA? = a<g)? — ?®a. (4.1)
Оно антисимметрично, или альтернированно. Вместо того чтобы распространять это произведение на тензоры более высоких рангов, определяя его как антисимметризацию соответствующих тензорных произведений, целесообразнее дать просто ряд аксиом, которые собственно и служат правилами работы с такими альтернированными произведениями.
