Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Альтернированное ковариантное тензорное поле Gp v (M) степени р называется внешней дифференциальной формой. Если а (EjFpi т0> как мультилинейная функция от касательных векторных полей, а удовлетворяет соотношению
а(. .., и, v.. .) = —а(... V, и.. .). (4.2) Дифференциальная геометрия и топология
231
Внешнее произведение CLp ? рр И ?g ? Pq есть
(4.3)
Операция Д, по определению, обладает следующими свойствами:
1. Линейность по каждому из сомножителей
«Л(/Р + ^) = /«ДР + ^Д7, (4.4)
где /, g?P (M) = P0(M).
2. Ассоциативность; кроме того, при f?p0, о?р справедливо равенство /До =/а.
3. Альтернативность, т. е. для любых двух векторов о, Q, ZP1 (M) = SL1 (M)
<*A Q=-QAff. (4.5)
Наиболее общая р-форма, образованная по этим правилам, есть линейная комбинация произведений векторов вида
O = OiAa2A ¦ • • A°p + QiAQ2A • • • AQe- (4-6)
Когда каждый из членов этой суммы есть произведение в точности р векторов, мы говорим, что а есть р-форма, а?РР. Также говорят гДе ^л носит назва-
ние алгебры Грассмана, присоединенной к P1. Очевидно, что р д, рассматриваемая как векторное пространство, есть прямая сумма векторных пространств Pv (р = О, 1, . . .), поскольку каждая а представляет собой сумму вида (4.6). Легко проверяется перестановочное соотношение для любых ар?рр и ?9^pq
ардр« = (_ 1)мрздар. (4.7)
Задавая на некоторой окрестности пространства Sb1 = P1 базис можно с помощью таких правил представить любую р-форму а ? Pp в виде единственного разложения
а = а(і1І2...ір)®4!Де*Д ... Д(ob, (4.8)
где а(ііії-..ір) — дифференцируемые функции, а круглые скобки в индексах означают, что
Ч< к<- ¦ -<iP, (4-9)
что соответственно модифицирует правило суммирования. 232
Статья 7. Ч. M и г н е р
Компоненты же аг1,-2...Jj, (без этого ограничения) тогда определяются из требования антисимметрии по всем индексам, и мы можем эквивалентным образом писать
а = ^ ау2..Лр(опД(о;2Д ... дшіР, (4.10)
так как каждый отдельный набор индексов встречается с различными перестановками р! раз ввиду того, что теперь суммирование уже не ограничено указанным выше правилом. Эта формула позволяет также отождествить а с антисимметричным тензором, имеющим компоненты апг2.. Jp- Отметим, что при р = п разложение (4.8) состоит всего из одного члена, именно
ап = а12...„ю1Д(й2Л...Л< (4.11)
тогда как при р> п два множителя со* в уравнении (4.8) должны быть равны и, поскольку соД со = — со Д со, их произведение должно обращаться в нуль.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Внешняя р-форма а ? ^rp называется простой, если в каждой точке х она может быть записана в виде произведения некоторых 1-форм oi ? T1 (x)
a = CT1Aff2A-^Affp. (4-12)
Это определение полезно, потому что многие определения и выкладки, будучи заданными явным образом только для простых дифференциальных форм, очевидным образом обобщаются с помощью свойств линейности. Кроме того, простая р-форма обладает определенным геометрическим смыслом, именно, она определяет в каждой точке р-мерное подпространство пространства T1 (х), что следует из следующей леммы:
ЛЕММА. Множество 1-форм CT1, СТ2, . . ., ffp в точке X линейно независимо, если и только если их внешнее произведение a ? Gf не обращается в нуль.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что указанные 1-формы линейно зависимы, например Ct1 = Й2СТ2 + . . . + арор. Подставляя это равенство в (4.12), найдем, что тогда каждый член содержит некоторый множитель oi дважды и поэтому обращается в нуль. Если все а Ф 0, то между Дифференциальная геометрия и топология
233
Ot не может существовать подобной линейной связи, и поэтому Oi линейно независимы. С другой стороны, если Ct1, . . ., CTp являются линейно независимыми, то введем добавочные векторы так, чтобы получить базис со® пространства Ti (х), включающий со0 = ста (а = = 1,2, . . ., р). Тогда а Ф О, так как мы имеем в качестве мультилинейного функционала
a (elf е2, ..., ер) = (CD1Aw2A ... Д (Bp) (et) е2, ..., ер) = 1 ф О,
где et — дуальный базис пространства T1 (х). Из этой леммы следует, что 1-форма ст в точке х лежит в подпространстве пространства T1 (х), натянутом на а і, тогда и только тогда, когда а Д ст = 0.
Детерминанты
Пусть В — линейное преобразование пространства T1 (х) в себя:
В : Ct-^q = Ba. Тогда В ? Til (х), поскольку в координатах это означает, что Qj = B1iOj. Затем В расширяется до линейного отображения каждого ковариантного тензорного пространства в себя по правилам типа В (ст (g) q) = (Во) (§) (g) (Bq). Если ап — некоторая w-форма в точке х, то Ban должна быть кратной ап, и мы можем определить детерминант det В преобразования В уравнением
Ban = (det В) а™. (4.13)
Обращаясь к записи в компонентах, возьмем ап = = с*!...« dx1 Д dx2 Д . . . Д dxn. Тогда Bdxi = Bij dx>, так что
Ban = ?..^ (B1h dxn) д (Bi dxh) Д ... Д (В?п dxі») = = o1... пр)а • • щп dxn д .. . ^dxin.
Но
dx^[\.. . /\dxin = shh"-indx1f\dx2/\ ... Д dxn,
где eij -ft=±l, О есть сигнатура перестановки, приводящей последовательность ij.. .к к порядку 1 2... га; она обеспечивает справа как раз те знаки, которые появляются в обычном определении детерминанта. 234
