Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
d(u.v) = (du).y + u-(dv). (5.9)
Эти идеи уточняются и развиваются в работах [4, 5], на которые мы ссылались в начале этой лекции, так что остальную часть изложения мы здесь опустим *).
VI. Когомология
Когомология относится к весьма сложным математическим структурам, связанным с топологическими пространствами и непрерывными отображениями между этими пространствами. Точнее, мы имеем дело с когомологиями в дифференциальной топологии, именно с когомологиями, относящимися всегда к дифференцируемым многообразиям и дифференцируемым отображениям. Соответствующая алгебра—это алгебра линейного оператора внешнего дифференцирования d, векторных пространств, на которых определен d, и тех линейных отображений этих пространств,
*) См. примечание 1 на стр. 235.— Прим. ред. 238
Статья 7. Ч. M и г н е р
которые оператор d порождает. Ввиду того что d есть «тензорный оператор» [см. уравнения (3.16) и (3.17)], определенный безотносительно к чему-либо, кроме дифференцируемой структуры рассматриваемого многообразия, то, как выяснится в дальнейшем, вся алгебра, которую мы построим, исходя из этого многообразия, также будет зависеть только от дифференцируемой структуры многообразия, или, короче, будет топологически инвариантной.
В этом заключается огромное упрощение той конкретной когомологии (де Рама), которую мы построим, так как во многих теориях топологическая инвариантность теряется при определении коцепных групп, и необходимо доказывать, что она восстанавливается снова при переходе к группам когомологий. Приставка «ко» в слове «когомология» имеет смысл ссылки на теорию двойственной гомологии, которая представляет собой алгебраическую структуру, основанную на кривых, поверхностях и т. д. и операторе, связывающем эти объекты посредством формирования их границ. Двойственность связана с возможностью интегрировать р-формы по р-мерным поверхностям, получая действительные числа; таким образом, р-поверхности проявляют себя как линейные функционалы над р-формами. Хотя гомология и связана с объектами (поверхностями), обладающими более непосредственным топологическим смыслом, однако технически доказывать основные теоремы здесь гораздо труднее, так что мы ограничимся когомологией дифференциальных форм. Важность когомологии как рабочего метода топологии полностью выяснится только к концу лекций, где станет ясно на нескольких примерах, что некоторые из вводимых нами векторных пространств конечномерны. Их размерности позволяют получить некоторые целые числа (числа Бетти), несущие информацию о топологии многообразия.
Поля р-форм JPp (M), определенные глобально на М, образуют (бесконечномерное) векторное пространство над полем действительных чисел, а поэтому также абелеву группу относительно векторного сложения. Алгебраическая система полей (M) вместе с линейным отображением d, удовлетворяющим условию d2 = 0, есть пример Дифференциальная геометрия и топология 239
коцепного комплекса
P0 (M) Л Pi (M) Л ... P^i (M) Л Pp (M) Л....
(6.1)
[Стандартное обозначение для коцепного комплекса следующее:
C0XC1X ...Cn Асп+1Л ..., (6.2)
где оператор б, удовлетворяющий условию б2 = 0, носит название пограничного оператора, a Cn — группа га-коцепей. Каждая Cn представляет собой абелеву группу или модуль над кольцом; в частности, как в нашем случае, она может быть векторным пространством над некоторым полем. ] Образ d Pp^ (M) системы Pp^ (M) при отображении d есть подгруппа системы pv (M), называемая группой кограниц и обозначаемая через <%jv (M). Таким образом, р-форма а есть кограница, §§р (M), если и только если она является внешней производной некоторой (р — 1)-формы ?, т. е. если а = d?. (В другой терминологии: а есть точная дифференциальная форма, или а является точной, если и только если а = d? для некоторой формы ?.) Для каждой кограницы а справедливо равенство da = 0, ибо d (d?) = 0; поэтому $p (M) также является подгруппой группы %р (M) всех р-форм а, удовлетворяющих условию da = 0. Если da, = 0, то р-форма а называется коциклом или замкнутой дифференциальной формой. (Циклы в теории гомологий не имеют границ и, таким образом, относятся к замкнутым поверхностям — соответственно для когомологий «коцикл» и «козамкнутость».) Теперь мы поставим вопрос: является ли уравнение da = 0 [означающее, что 2>р (M)] условием интегрируемости, гарантирующим существование такой формы ?, что а = a? [т. е. а Є (M)]; иначе говоря, действительно ли %р и
совпадают? Если бы это было так, то факторгруппа И' <*>¦<6-3>
исчезала бы. Таким образом, факторгруппа (6.3) характеризует меру неприменимости этой теоремы к многообразиюМ. 240
Статья 7. Ч. M и г н е р
Группа \Hv (M)вносит название р-мерной группы когомологии де Рама многообразия М, так как де Рам первый доказал, что она изоморфна более классическим группам когомологии, определяемым комбинаторными методами. На компактных многообразиях группа Н? (M) конечномерна, и ее размерность носит название р-го числа" Бетти для многообразия М. Я не буду доказывать какого-либо из этих утверждений, но надеюсь, что по ходу дела конечномерность группы Hp станет достаточно ясной.
