Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Статья 7. Ч. M и г н е р
Таким образом, мы находим
Ban = IВ} I O1.. .„ dx1 Д ... Д dxn = | в) 1 ап, (4.14)
так что (det В) находится в соответствии с классически определяемым детерминантом \В) \ всякой матрицы, представляющей преобразование В. В частности, если ф : Ev-*-—>- M есть параметризированный поверхностный элемент, ^o в локально-координатном представлении Xі = = Ф{ (г1, г2, . . ., Р>) имеет место ф* dx1 = (dy4dta) dta Д. Если теперь подставить эти выражения в разложение р-формы
а а(ч, ч,.... ip) dx^/\dx^/\... f\dxb, (4.15)
то знаки, которые соответствуют отличию порядка сомножителей в произведениях dta от стандартного, будут совпадать со знаками в разложении якобиана, и мы получим:
ф *«=a(.nh...ip) (Ф ^д^д • • •
(4.16)
Поэтому р-формы можно мыслить как подынтегральные выражения интегралов по р-мерным поверхностям.
Внешняя производная
Градиентный оператор d обобщается до операции
d: ^Р(х) (4.17)
над полями внешних дифференциальных форм Gf р (M) или их ядер ^p (х). Это обобщение достигается, если потребовать, чтобы выполнялось правило
d (ар Д ?9) = dap Д ?9 + (— l)pap Д d?9 (4.18)
для произведений и свойство
d(df) = 0 (4.19)
для любой функции f?jfo- Опираясь на эти требования, мы можем для любой р-формы а в координатном базисе
a = <*(ІІІ2...ip) dxhKdxi* Д ... Лdxb (4.20) Дифференциальная геометрия и топология 235
вычислять ее внешнюю производную
da = daW2...ip)/\dx^f\dx^Д ... Дdx^. (4.21) Очевидно, что
d(da) = 0 (4.22)
для любой внешней дифференциальной формы а. Для форм вида
A = Aidxi (4.23)
внешняя производная совпадает с известной операцией ротора:
dA = dAl/\dxi = ^dx> Дdx1 =
дхі
= -d^dxi ^ = Ai^dxi Adx\ (4.24) или
(dA),j = Ajil-Aitj. (4.25)
Если бы в уравнениях (4.21) и (4.25) мы не использовали координатной системы, то за счет производных от базисных векторов в результат вошли бы дополнительные члены.
У. Риманова геометрия
Этот эскиз римановой геометрии имеет своей целью подготовить читателя к изучению методов Картана и идей Шевалле. Кроме того, проводимые здесь вычисления помогут читателю освоиться с внешними дифференциальными формами прежде, чем их придется использовать в качестве основы для довольно абстрактных алгебраических построений, составляющих содержание следующих лекций, посвященных теории когомологий. (Читая эти лекции, я наиболее близко следовал Г. Фландерсу [4]. В качестве примера того, как структурные уравнения Картана облегчают вычисления тензора кривизны в случае простых метрик, я приводил такое вычисление для метрики Шварцшильда. Это вычисление можно найти в работе [5] х).)
Со своей стороны мы по теме этой лекции рекомендуем монографии [11—15].— Прим. ред. 236
Статья 7. Ч. M и г н е р
Риманово многообразие есть дифференцируемое многообразие M с глобально определенным на нем невы-' рожденным симметричным тензорным полем ds2 ? ЗЬг (M). В локальной координатной системе
ds2 = gij (х) dx1 0 dx1. (5.1)
G обычной точки зрения dx1— малые смещения, a ds2 считается скаляром, поскольку у него отсутствуют индексы. Однако dx* не указывают никакого определенного направления, а по сути дела просто служат мерой некоторого свойства кривой, когда кривая эта задана. Поэтому мы предпочитаем явно признать тот факт, что dxi обладают потенциальной возможностью порождать числа, но сами не являются числами. Они представляют собой (линей1 ные) функции кривых или их касательных векторов у, т. е. ковариантные векторы, a ds2 есть тензор, билинейный функционал, определенный на касательных векторах. Значение этого функционала на паре векторов u, v есть число
U-V = ds2 (и, v) = gij{dxi, и)(dx\ v) = guuiv3'. (5.2)
[Вспомните уравнения (3.4) и (3.18).] В произвольной системе е; и дуальной ей Wi имеем снова
ds2 = gij(x) CDi(S)O)' (5.3)
и
U-V = ftj(CDi, и)(<й', \) = guuivi. Задавшись, например, метрикой Шварцшильда
ds2= —f2 dt2 + — +г2 (dQ2 +sin2 Bdy2) (5.4)
и опуская значки тензорных произведений, мы легко найдем базис, в котором gl} = •%-. Для этого нужно просто, записав (5.7) в виде
ds2= — (/Л)2+(у)2+ (г ей)2+ (г sinedcp)2, (5.5)
перейти к ортогональной системе
(o° = fdt, сO1 = -Jdr, со2 = г еШ, cd3 = 7-sin Qdcp (5.6)
в качестве базиса. Дифференциальная геометрия и топология 237
Идея ковариантной производной становится очень наглядной, если вспомнить, что индексы векторных компонент Vі относятся к базисным векторам, и написать
V = ^ei. (5.7)
Отсюда ясно, что любое разумное определение производной вектора должно удовлетворять условию
dv =^dviQiV1 deu (5.8)
тем самым учитывая движение базисных векторов. Когда приходится пользоваться вращающейся координатной системой в ньютоновской механике, мы вычисляем dei, разлагая е; по базису Ь// инерциальной системы отсчета, который удовлетворяет условию dbh' =0. В общем же случае мы не имеем подобной фиксированной системы отсчета, так что правило вычисления det либо приходится задавать произвольно (аффинные многообразия), либо его находят из метрического тензора ds2 в римановом многообразии, опираясь на требование, чтобы выполнялись определенные разумные свойства, например такие, как
